衍生证券定价理论前言文档格式.doc

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65年后，Samuelson（1965）用标的资产的价格服从几何连续随机游走运动的假设代替Bachelier的标的资产服从连续随机游走运动的假设，重新考虑期权的定价问题。

他利用标的资产的期望回报率对期权的终端支付进行折现，得到了接近于Black-Scholes-Merton期权定价公式的期权定价方法。

但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes（1973）和Merton（1973）才得以突破。

他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。

Scholes和Merton也由此获得1997年诺贝尔经济学奖。

由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。

学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展。

期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。

由于衍生资产在证券市场中具有分散风险、完备化市场等重要作用，近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。

所以，无论从理论还是从实际需要出发，期权定价的思想都具有十分重要的意义。

从20世纪80年代开始，这一领域在思想上没有大的突破。

许多研究停留在完善和计算方面。

我们可以把这些研究大致分为：

复杂衍生证券的定价（例如MBS，奇异期权等）；

数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；

拓展模型来解释Black-Scholes模型不能解释的现象（例如Volatilitysmile）；

交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。

套利机会和套期保值、有效市场假设、均衡

1．衍生证券定价的经典理论

衍生证券定价的基本思想是，在完备市场中，通过自融资的动态证券组合策略来合成衍生证券，从而衍生证券的价格等于证券组合最初的成本。

1.1二项树模型

该模型由Sharpe（1978）提出，Cox,RossandRubinstein（1979）对它进行了拓展。

尽管最初提出二项树模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。

假设标的资产的价格服从二项分布产生的过程，如图所示

=标的资产现在的价格

=标的资产上涨的概率

=无风险利率

=标的资产上涨的幅度

=标的资产下跌的幅度

=衍生证券现在的价格

=当标的资产价格为时衍生物的价格

对的限制为，这是无套利条件，也是保证在套期保值过程中解的存在性的条件。

直观地可以看出，无论是（这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。

我们构造无风险套期保值证券组合：

以价格买一份股票，买份以股票为标的物的衍生证券（称为套期保值比率）。

下图说明了这个套期保值证券组合的到期支付。

如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。

套期保值证券组合的到期支付

让支付相等，得到：

从上式中解出衍生证券的份数：

因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以，即，

从这个式子得出衍生证券的价格：

把套期保值比率代入得：

设

，

则

。

从而，我们得到：

（7.24）

这里定义的总是大于0而小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率。

从的定义可以看出，无套利条件成立当且仅当大于0而小于1（即，是概率），所以，在金融学里，我们又把称为等价鞅测度。

这儿所说的正是金融学的一个重要定理：

无套利等价于存在等价鞅测度。

我们也可从另外一个角度来解释的意义：

是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的值，即，股票价格上涨的概率。

作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有：

从中解出值，得到：

所以，对一个风险中性者来说，=，而衍生证券的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，衍生证券的期望终端支付的折现值。

在求得衍生证券价格的过程中，有两点是至关重要的，一是套期保值证券组合的存在性；

二是无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率。

无套利定价原理很容易推广到多期二项树股票价格过程。

Cox,RossandRubinstein（1979）证明，当二项树模型中每期的时间趋于0时，股票价格依分布收敛于对数状态扩散过程，而期权价格公式收敛于Black-Scholes-Merton定价公式。

1.2Black-Scholes-Merton模型

BlackandScholes（1973）和Merton（1973）利用随机分析这种强有力的方法，第一次对期权定价问题提出了严格的解。

标的股票的价格服从如下的随机微分方程

， （1.2.1）

这里，

为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期望回报率，

为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，

为标准布朗运动，

为常数。

无风险债券的价格服从如下的方程

， （1.2.2）

这里，、为常数。

对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数

这里，我们并不知道函数的具体形式，只知道它在是两次连续可微的。

对函数利用Itô

引理，我们得到

，，（1.2.3）

下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。

假设自融资交易策略=满足此要求，这里，表示在时间购买的股票份数，表示在时间购买的债券的份数，则

，。

（1.2.4）

由（1.2.1）、（1.2.2）和上式，我们得到

， （1.2.5）

通过比较（1.2.3）与（1.2.4）两式中与的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。

首先，我们比较的系数，得到。

由（1.2.4），我们得到

从而

其次，我们比较的系数，得到，对于有

（1.2.6）

为了（1.2.6）成立，只需满足如下的偏微分方程

， （1.2.7）

由欧式期权的到期日支付得边界条件

（1.2.8）

利用Feynman-Kac公式，通过解带边界条件（1.2.8）的偏微分方程（1.2.7），我们得到Black-Scholes期权定价公式

这里

具体的解过程由Smith（1976）和Malliaris（1983）给出。

Smith非常系统的给出了期权定价方法的应用，Malliaris说明了随机分析的本质作用。

Duffie（1996）给出了Black-Scholes-Merton定价公式的数学基础以及金融解释，同时还给出了期权定价的金融学解释。

上面给出的欧式期权的定价方法的基本假设是市场无套利机会，同时应满足如下假设：

股票价格服从常波幅的扩散过程；

市场连续交易；

常无风险利率；

市场无摩擦。

在上述假设下，期权定价这样原始的问题被刻画成金融思想和数学推导的完美结合。

在本课程中，我们将看到无套利假设是衍生证券定价的灵魂思想。

在开始本课程之前，我们可以通过Merton（1998）和Scholes（1998）在获得诺贝尔经济学奖时所作报告来全面了解在过去30年中相关领域的发展。

1.3衍生证券的一般定价方法

直到1976年，利用复合的证券组合一直是期权定价的基础。

CoxandRoss（1976）引入风险中性定价的概念，他们利用无风险利率代替股票价格过程的漂移项。

在他们工作的基础上，HarrisonandKreps（1979），HarrisonandPliska（1981）建立了系统的风险中性定价的理论框架以及与无套利的联系。

在1.2节中，我们已经提到了风险中性概率的定义。

无套利等价于存在等价概率测度，在等价概率测度下，期权和证券的价格以无风险利率折现后，是一个鞅过程。

这是动态资产定价的基础。

根据资产定价的基本定理，对随机过程而言，存在等价鞅测度本质上等价于无套利机会。

换一种说法，如果资产的折现价格不存在套利机会，则资产定价定理说明原有的概率测度可以用一个新的概率测度代替，在新概率测度下，资产的折现价格过程是一个鞅过程。

早期的风险中性定价工作是以货币市场帐户作为计量单位的。

事实上，计量单位的选取有很大的灵活性。

Geman,ElKarouiandRochet（1995）证明可以选取不同的计量单位。

对于每一个计量单位，都有一个概率与其相对应，从而有不同的定价模型。

纯折现债券的价格，不同到期日的远期合约都可以用来作为计量单位。

计量单位的选取的灵活性产生了许多利率衍生证券的定价模型。

1.4随机波幅模型

Wiggins（1987）推广了Black-Scholes-Merton期权定价模型。

假设（1.2.1）中的瞬时波幅服从一个扩散过程

（1.4.1）

这里是一个标准布朗运动，它和布朗运动的相关系数为。

在这种市场中，因为有两种风险根源和，所以不能通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。

波幅风险的价格由市场均衡来确定，而一般来说，不存在期权价格闭形式解。

Wiggins通过有限差分、Kalman滤子和MonteCarlo模拟计算方法来求解。

在波幅风险价格是常数，波幅是同方差的O-U过程的假设下，Heston（1993）得到欧式看涨期权闭形式的解。

2．利率衍生证券、奇异期权和实物期权

2.1期货期权和外汇期权

期货期权和外汇期权在二十世纪80年代初期开始在交易所交易。

Black（1976）研究期货合约与远期合约之间的差别。

在Black-Scholes-Merton模型的假设下，用期货价格代替股票价格，并引入一个大小等于利率的假设红利收益率，Black得到了期货期权的价格。

利用同样的思想，GarmanandKohlhagen（1983）说明，在Black-Scholes-Merton模型的假设下，用外汇现货价格代替股票价格，并引入一个大