第七章小波变换和多分辨率处理PPT资料.ppt

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,小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学显微镜”。

小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。

从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。

小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。

在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值计算等已有重大突破。

小波分析发展简史,InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组（filterbanks）之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。

RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。

在信号处理领域中，自从InridDaubechies完善了小波变换的数学理论和StephaneMallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。

小波理论与工程应用,傅里叶变换与小波变换,傅里叶变换的基础函数是正弦函数。

小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。

傅里叶变换与小波变换,傅里叶变换反映的是图像的整体特征，其频域分析具有很好的局部性，但空间（时间）域上没有局部化功能。

与傅里叶变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。

小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。

它是多分辨率理论的分析基础。

多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。

本章将从多分辨率的角度解释小波变换。

主要内容,背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包,主要内容,背景图象金字塔子带编码哈尔变换多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包,1.背景,物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。

物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。

物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用不同的分辨率对其进行研究。

从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变化的区域局部直方图统计特性不同。

无法对整个图象定义一个简单的统计模型。

一幅自然图像及其直方图的局部变化,1.背景,

（1）图像金字塔,以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。

一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合。

金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。

当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。

基础级J的大小为NN（J=log2N）顶点级0的大小为11第j级的大小为2j2j（0jJ）共有J+1级，但是通常我们截短到P1级，其中1PJ,J-1级近似输出用来建立近似值金字塔；

作为金字塔基级的原始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；

J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；

近似值和预测残差金字塔都通过迭代计算获得。

金字塔方框图,

（1）图像金字塔,

（1）图像金字塔迭代算法,初始化，原始图象大小2J2J，jJj-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减少的分辨率近似值j-1级近似值，生成子抽样金字塔。

对j-1级近似值进行步长为2的内插，并进行过滤，生成与输入图像等分辨率的预测图像。

计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测残差金字塔。

重复2、3、4步骤。

图象的高斯近似值金字塔，分辨率分别为：

512512，256256，128128，6464。

金字塔的分辨率越低，伴随的细节越少;

低分辨率图像用于分析大的结构或图像的整体内容，高分辨率图像用于分析单个物体的特性。

相应拉普拉斯预测残差金字塔，分辨率分别为：

从低级开始通过内插和滤波获得高级高斯金字塔的预测残差图象。

（1）图像金字塔,两种图像金字塔和它的统计特性。

（a）高斯金字塔（近似），（b）拉普拉斯金字塔（预测残差）,（a）,（b）,子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为子带。

子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。

每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。

子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成,

（2）子带编码,系统输入是一个一维的带限时间离散信号x（n）分析滤波器h0（n）和h1（n）是半波数字滤波器，理想传输函数H0,H1如下图所示。

H0低通滤波，输出x（n）的近似值H1高通滤波，输出x（n）的高频或细节部分综合滤波器g0（n）和g1（n）为重构的结果,

（2）子带编码,（a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性,（a）,（b）,序列x（n）的Z变换时域以2为因子的抽样对应到Z域同样，以2为因子的内插对应的变换为X（n）先抽样再内插得到,

（2）子带编码,系统输出滤波h0（n）的输出整理第二项含有z，代表了抽样-内插过程带来的混叠,

（2）子带编码,对于输入的无失真重建，假定下列条件：

矩阵表达,消除混叠消除幅度失真,&

（2）子带编码,分析调制矩阵,证明分析滤波器和综合滤波器双正交,24,由性质，以及奇次方相互抵消,

（2）子带编码,将H0和G0表示成G1和H1的函数,

（2）子带编码,满足该条件的滤波器组称为具有双正交性,分析滤波器和综合滤波器满足上述条件，所以具有双正交性,

（2）子带编码,（正交镜像滤波器）,（共轭正交滤波器）,完美重建滤波器族,一维滤波器用于图像处理的二维可分离滤波器可分离滤波器首先应用于某一维（如水平方向），在应用于另一维（如垂直方向）a（m,n）,dV（m,n）,dH（m,n）和dD（m,n）分别表示近似值、垂直细节、水平细节和图象的对角线细节子带,

（2）子带编码,4个8抽头Daubechies正交滤波器的冲激响应。

（2）子带编码,低通滤波器h0（n）的系数为：

-0.01059740，0.03288301，0.03084138，-0.18703481，-0.02798376，0.63088076，0.71484657，0.23037781。

其余正交滤波器参数可以通过公式计算获得。

adHdVdD,

（2）子带编码,花瓶的4频段子带编码,花瓶图像从512512到256256子带的近似子带a、水平子带dH，垂直子带dV和对角线子带dDdH和dV有混叠是由于对可分辨窗口进行抽样造成的，可以通过综合滤波器重建时消除。

它的基函数是最普遍也最简单的正交小波。

哈尔变换本身对称、可分离，矩阵表示：

T=HFHTF是NN图象矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果哈尔基函数,（3）哈尔变换,NN哈尔变换矩阵第i行包含元素hi（z），其中z=0/N,1/N,（N-1）/N。

例如，N=4时，k,p,q的值如右：

则，44变换矩阵H422变换矩阵H2,（3）哈尔变换,离散小波变换的哈尔函数,6464,128128,256256,图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数其局部统计数据相对稳定，并且容易给出模型。

大多数数据接近0，可以进行大量的压缩；

原始图象的粗和细分辨近似可以从中提取子图象进行重建。

主要内容,背景多分辨率展开序列展开尺度函数小波函数一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包,2.多分辨率展开,图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。

在多分辨率分析（MRA）中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差2倍。

被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。

信号或函数可以分解为一系列展开函数的线性组合其中，k是有限或无限和的整数下标，k是具有实数值的展开系数，k（x）是具有实数值的展开函数如果展开方式唯一，则任何指定的f（x）只有一个k序列与之相对应k（x）称为基函数展开序列k（x）称为可表示这一类函数的基。

（1）序列展开,可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度系数k可以通过内积得到,

（1）序列展开,由于展开集合的正交性，计算有3种形式情况1：

如果展开函数构成了V的一个正交基基与它的对偶相等，则系数由基函数和原函数的内积来计算,

（1）序列展开,由于展开集合的正交性，计算有3种形式情况2：

若展开函数本身不正交，而是V的正交基基函数及其对偶函数为双正交，即系数由下式计算,

（1）序列展开,情况3：

如果展开集合对V来说不是函数基，但是符合线性展开，那么它是一个跨度集合，对于任一f（x）V有一个以上k集合。

展开函数及其对偶称为超完备或冗余。

它们组成了一个框架，其中：

对于某些A0，B，及所有f（x）V。

若A=B,

（1）序列展开,考虑整数平移和实数二值尺度、平方可积函数（x）组成的可展开函数集合k决定了j,k（x）在x轴的位置j决定了j,k（x）的宽度2j/2控制其高度或幅度j,k（x）的形状随着j发生变化，（x）被称为尺度函数通过选择适当的（x），j,k（x）可以决定跨度L2（R），所有可量度的平方可积函数的集合.,

（2）尺度函数,定义代表任何j，k上的跨度子空间增大j，用于表示子空间函数的j,k（x）范围变窄增加j将增加Vj的大小，将允许具有变化较小的变量和较细节函数包含在子空间中举例说明哈尔尺度函数,

（2）尺度函数,单位高度单位宽度的尺度函数,当j=1时与j=0相反，展开函数更窄更密集对于左下角的函数将0，0（x）分解作为V1展开函数的和，可以得到从数学角度看，V0是V1的一个子空间，记做,举例：

哈尔尺度函数,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求1：

尺度函数对其积分变换是正交的在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺度函数的值是1，其积分变换就是0，所以二者的乘积是0。

哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支撑区的有限区间外，函数值都为0。

事实上，其支撑区是1，半开区间0,1）外的支撑区的值是0。

必须注意，当尺度函数的支撑区大于1时。

积分变换正交的要求将很难满足。

（2）尺度函数,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求2：

由低尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。

（2）尺度函数,子空间：

简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求3：

唯一包含在所有Vj中的函数是f（x）=0如果考虑可能的最粗糙的展开函数（即j=-），惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，,

（2）尺度函数,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求4：

任何函数都可以以任意精度表示虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f（x）是几乎不可能的，但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限j表示，即，在这些条件下，子空间Vj的展开函数可以被表述为子空间Vj+1的展开函数的加权和。

（2）尺度函数,被称为尺度函数系数；

为尺度矢量任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷贝中得到