第3章 线性代数方程组数值解法PPT文件格式下载.ppt

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（n1）次乘法，因此，就目前而言，当n稍大一些，在电脑上用Gram法则解线性方程组是不可行的。

回顾中学课本中解一次方程组的方法：

加减消元法。

例3.2.1r32r1：

-3x1=-3x1=1；

r2r3：

x2=1行初等变换x1=1，x2=1代入r1：

x3=421=1这里由于人可以方便的判断出r32r1和r2r3可以同时消去2个未知数，很容易的得到了解。

第3章线性代数方程组的数值解法,3.2Gauss消去法计算机不能这样灵活的加减消元，但能按照既定的规则按部就班地进行加减消元。

首先，分别以第1行乘以适当的数加到2n行消去第1列除a11之外的所有元素，然后，第2行分别乘以适当的数加到3n行消去第2列a22以下的所有元素，。

这就是顺序Gauss消去法的消元过程。

本节重点讨论Gauss消去法的基本原理、与矩阵三角分解的关系、计算量和可行性、稳定性。

第3章线性代数方程组的数值解法,3.2.1顺序消去过程和LU三角分解将变换之前的A、b记为A

（1）、b

（1），则方程组（3.1.2）可写为A

（1）x=b

（1），增广矩阵为A，b=A

（1），b

（1）。

第1步消元：

丛r2,r3,rn中消去x1项，条件a11

（1）0，使得A

（2）x=b

（2）A

（1）x=b

（1）其中,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,具体方法：

-（r1

（1）/a11

（1）a21

（1）加到第2行，-（r1

（1）/a11

（1）a31

（1）加到第3行，-（r1

（1）/a11

（1）ai1

（1）加到第i行，-（r1

（1）/a11

（1）an1

（1）加到第n行。

这就使第1列a11

（1）以下元素皆为0。

记l21=a21

（1）/a11

（1）；

li1=ai1

（1）/a11

（1），i=2,3,n则上述过程可描述为：

以矩阵A

（1），b

（1）中的第1行分别乘以-li1加到2n行，即ri

（1）li1r1

（1）ri

（2），i=2,3,n其中第i行aij

（2）=aij

（1）li1a1j

（1），i,j=2,3,nbi

（2）=bi

（1）li1b1

（1），i=2,3,n,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,第2步消元：

丛r3,r4,rn中消去x2项，条件a22

（2）0，使得A（3）x=b（3）A

（2）x=b

（2）具体方法：

li2=ai2

（2）/a22

（2），ri

（2）li2r2

（2）ri（3），i=3,4,n第k步消元：

丛rk+1,rk+2,rn中消去xk项，条件akk（k）0，使得A（k+1）x=b（k+1）A（k）x=b（k）其中,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,（3.2.1）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,具体方法：

记lik=aik（k）/akk（k），i=k+1,k+2,n（3.2.2）以矩阵A（k），b（k）中的第k行乘以-lik加到i行，即ri（k）likrk（k）ri（k+1），i=k+1,k+2,n其中第i行aij（k+1）=aij（k）likakj（k），i,j=k+1,k+2,n（3.2.3）bi（k+1）=bi（k）likbk（k），i=k+1,k+2,n当完成第k=n1步时，A

（1）变为上三角阵A（n），Gauss消元过程结束，得到与原方程组等价的方程组A（n）x=b（n）（3.2.4）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,其中（3.2.5）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,由（3.2.4）式按倒序可方便的求出解向量x：

这个过程称为Gauss消去法的回代过程。

写成简洁的形式（3.2.6）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,消元过程和回代过程合在一起称为Gauss消去法。

由于消元过程未改变顺序，故称为顺序Gauss消去法。

消元过程的矩阵描述分别以-li1乘以矩阵A

（1），b

（1）中的第1行加到2n行，即ri

（1）li1r1

（1）ri

（2），i=2,3,n其中第i行aij

（2）=aij

（1）li1a1j

（1），i,j=2,3,nbi

（2）=bi

（1）li1b1

（1），i=2,3,n即,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,或A

（1）和,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,相当于用一个初等矩阵L1=Il1e1T左乘A

（1）和b

（1），其中l1=（0,l21,l31,ln1）T，li1=ai1

（1）/a11

（1），i=2,3,n，即L1A

（1）=A

（2），L1b

（1）=b

（2）。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,其中单位列向量e1=（1,0,0,0,0）T，e2=（0,1,0,0,0）T，en=（0,0,0,0,1）T，,第k步分别以-lik乘以矩阵A（k），b（k）中的第k行加到k+1n行，即ri（k）likrk（k）ri（k+1），i=k+1,k+2,n其中第i行aij（k+1）=aij（k）likakj（k），i,j=k+1,k+2,nbi（k+1）=bi（k）likbk（k），i=k+1,k+2,n相当于用一个初等矩阵Lk=IlkekT左乘A（k）和b（k），其中lk=（0,0,lk+1,k,lk+2,k,ln,k）T，lik=aik（k）/akk（k），i=k+1,k+2,n即LkA（k）=A（k+1），Lkb（k）=b（k+1）。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,以上n-1步消元过程用矩阵相乘表示：

A

（1）L1A

（1）=A

（2）L2L1A

（1）=L2A

（2）=A（3）Ln-1Ln-2L2L1A

（1）=Ln-1Ln-2A（n-2）=Ln-1A（n-1）=A（n）和b

（1）L1b

（1）=b

（2）L2L1b

（1）=L2b

（2）=b（3）Ln-1Ln-2L2L1b

（1）=Ln-1Ln-2b（n-2）=Ln-1b（n-1）=b（n）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,矩阵A变换部分A

（1）=（Ln-1Ln-2L2L1）-1A（n）=A（n）令，得到A

（1）=LA（n），即A=LA（n），同理，由向量b变换部分得到b=Lb（n），由初等三角矩阵的性质：

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,对于初等矩阵Li（mi）=ImieiT（2.3.3）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,有如下性质（P.3031）

（1）Li-1（mi）=Li（-mi），|Li|=1,（3）任何一个单位下三角阵LRn都可分裂成L=Im1e1Tm2e2Tmn-1en-1T（4）Li左乘A的结果是从A的各行中减去第i行乘1个因子。

由性质

（1）得，由性质

（2）知，L为单位下三角阵：

（）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,

（2）L=L1（l1）L2（l2）L3（l3）Ln-1（ln-1）为单位下三角阵,令U=A（n），即（3.2.7）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,消元过程最终得到A=LU（3.2.8）上述过程说明，只要主元素，k=1,2,n，Gauss顺序消元过程就可以将A分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，称为A的LU分解，也称为Doolittle分解。

如果分解成上三角阵是单位阵，则称为Crout分解。

利用A的LU分解可以计算A的行列式（determinant）值：

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,综上所述，Gauss顺序消元过程实际上是对A作了LU分解，n1步消元过程将原方程组Ax=b（3.1.2）变为LUx=b令Ux=y，原方程组分解为2个容易求解的三角形方程组Ly=b（3.1.5）Ux=y（3.1.6）,求解顺序为先（3.1.5）式，后（3.1.6）式。

对于（3.1.5）式，由于L为下三角阵，故按正序求解（3.2.9）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,对（3.1.6）式仍用（3.2.6）式。

即按倒序可方便的求出解向量x。

事实上，对比式（3.2.4）A（n）x=b（n），并注意到式（3.2.7）A（n）=U，及y=b（n），式（3.1.6）就是式（3.2.4）。

例3.2.1,3.2.2可行性和计算量顺序Gauss消去法的可行性Gauss消去法的的消元过程和回代过程都要求k=1,2,n，否则过程进行不下去。

但是是否等于0，在消元过程中才知道。

如何事先判断，下面的三个定理给出了答案。

定理3.2.1若矩阵A的各阶顺序主子式均不为0，即Dk=detAk0，则。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,矩阵A的各阶顺序主子式：

D1=|a11|,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,证用归纳法。

k=1时，D1=|a11|0，于是=a110。

设Di0对i=2,3,k-1成立，则只需证明Dk0即可。

由于i=1,2,3,k-1，因此可对A进行k-1次顺序Gauss消元，A变为A（k），A的k阶主子式Ak变为上三角阵Ak（k）。

由于Ak等于单位下三角阵左乘Ak（k），故有detAk=detAk（k）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,即变换前后矩阵行列式的值不变（3.2.11）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,由上式得到Dk0，定理得证。

直接用定理3.2.1判别是不方便的，因为须计算各阶顺序主子式。

以该定理为基础可得到下面两个有实用价值的判别定理。

根据定理3.2.1和定理2.3.8实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式一定是正的得到定理3.2.2。

定理3.2.2A对称正定根据定理3.2.1和严格对角占优阵的性质，可以证明定理3.2.3。

定理3.2.3A严格对角占优顺序Gauss消去法的计算量由第k次消元的消元过程计算式（3.2.3）和回代过程的计算式（3.2.6）统计乘除法和加减法的计算量。

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,消元过程的计算量：

aij（k+1）=aij（k）likakj（k），i,j=k+1,k+2,n（3.2.3a）bi（k+1）=bi（k）likbk（k），i=k+1,k+2,n（3.2.3b）a式共有（nk）2个计算式，b式共有（nk）个计算式，每式1次乘法1次减法；

lik，i=k+1,k+2,n是两式共用的，须计算（nk）个lik。

每计算1个lik，1次除法。

共有（n1）步消元，即k=1（n1）。

所以消元过程共有乘除法（次）：

加减法（次）：

第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,回代过程的计算量：

（3.2.6）,第3章线性代数方程组的数值解法Gauss消去法,式（3.2.6）有n次除法；

乘法、减法：

k=n-1，各1次；

k=n-2，各2次；

k=1=n-（n-1），各n-1次所以回代过程共有乘除法（次）加减法（次）,所以顺序Gauss消元的计算量为乘除法（次）：

对比用Gram法则解线性方程组，按定义计算n阶行列式，需n!

（n-1）次乘法（P.61）,第