学年陕西省榆林市高二上学期期末数学文试题解析版Word文件下载.docx
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【点睛】本题考查运用正弦定理解三角形，属于基础题.
4．已知向量，不共线，，，若，则（）
A．-12B．-9C．-6D．-3
【答案】D
【分析】根据，由，利用待定系数法求解.
【详解】已知向量，不共线，且，，
因为，
所以，
则，
解得，
D
【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．已知，则（）
【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为，
6．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（）
A．9B．6C．7D．8
【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为，准线方程为，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的方程为，可得，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义，可得，
又因为过抛物线的焦点，且，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先解不等式，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】解不等式得；
由能推出，由不能推出；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B
8．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A．B．1C．2D．3
【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将化为，
观察图形可得，当直线过点时，取得最大值为3.
D.
9．已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（）
【分析】由题可得在上单调递增，讨论和两种情况可求出.
【详解】对任意，且，都有，
在上单调递增，
的对称轴为，
当时，开口向下，在单调递减，不符合题意；
当时，开口向上，要在单调递增，则，解得，
综上，.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，解题的关键是判断出在上单调递增.
10．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（）
【分析】设球的半径为,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.
【详解】设球的半径为,则该圆柱的底面半径为，高为
所以圆柱的表面积为：
球的表面积为：
则圆柱的全面积与球的表面积之比为
故答案选B
【点睛】本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题.
11．已知命题，，命题，，则下列命题是真命题的是（）
【分析】根据初等函数的性质，先判定命题都为假命题，再利用复合命题的真假判定方法，结合选项，即可求解.
【详解】例如：
当时，，所以命题“”为假命题，
由，所以，所以命题“，”为假命题，
则和都为真命题，
所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.
12．已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（）
【分析】首先根据题意求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】是一个等差数列的前项和，则，解得，
所以的前项和为
，
则.
【点睛】本题考查了等差数列的前和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.
二、填空题
13．若，则__________．
【答案】
【详解】
14．曲线在点处的切线方程为______.
【分析】求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程.
【详解】，，
在点处的切线的斜率，
则切线方程为，即.
故答案为：
.
15．为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度（单位：
）随时间（单位：
）的变化关系为，则池水中药品的浓度最大可达到________.
【答案】4
【分析】，然后利用对勾函数的知识可得答案.
【详解】因为，所以当时
4
16．已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，为半径的圆与x轴交于O，A两点，与双曲线C的一条渐近线交于O，B两点.若，则双曲线C的一条渐近线方程为______.
（或）
【分析】，可得，即，化简可得，即得渐近线方程.
【详解】由题可知，OA为圆F的直径，B为圆上一点，，
，，，
不妨设B在渐近线上，
则在直角三角形中，，
即，即，解得，即，
故双曲线C的一条渐近线方程为（或）.
（或）.
【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，解题的关键是得出，建立关于的齐次方程可求出.
三、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据余弦定理求解；
（2）求解得，代入面积公式求解.
（1）∵，，，
∴.
（2）∵，，∴，
18．设等差数列的前项和为，，.
（1）求；
（2）设，证明数列是等比数列，并求其前项和.
（2）证明见解析；
（1）利用等差数列的求和公式和基本量运算得到；
（2）利用定理证明数列是等比数列，公式法求和即可．
（1）由题可知是等差数列.由，，
联立解得，，所以；
（2）由，，得数列是首项为，
公比为2的等比数列.数列的前项和.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查学生计算能力，属于基础题．
19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面，是等边三角形，，E是线段的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求三棱锥的体积.
（1）证明见解析；
（1）由题可得，，即可证明；
（2）由可求.
【详解】解：
（1）证明：
∵侧面，平面，∴，
∵是等边三角形，E是线段的中点，∴，
又，平面，平面，
∴平面.
（2）∵侧面，
∴是三棱锥的高，
∵是等边三角形，，∴，
20．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图.
（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近天的日收入（单位：
元）进行了统计，所得频率分布直方图如图.若从该果蔬经营点的日收入超过元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过元的概率.
（1）应抽取小吃类商贩（家），果蔬类商贩（家）；
（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以可得结果；
（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天，其中超过元的有天，记为、，其余天为、、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为，
按照分层抽样的方法随机抽取，
应抽取小吃类商贩：
（家），果蔬类商贩：
（家）.
（2）该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天，其中超过元的有天，
记日收入超过元的天为、，其余天为、、、，
随机抽取两天的所有可能情况有：
、、、、、、、、、、、、、、，共种，
其中至少有一天超过元的所有可能情况有：
、、、，、、、、，共种.
所以，这两天的日收入至少有一天超过的概率为.
【点睛】方法点睛：
求解古典概型概率的方法如下：
（1）树状图法；
（2）列举法；
（3）列表法；
（4）排列组合数的应用.
21．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．
（1）求椭圆的方程
（2）若，求的最大值.
（1）
（2）当直线过原点时最大，为
（1）由椭圆离心率为，焦距为列方程组求解即可．
（2）设直线方程为：
，由直线与椭圆有两个不同的交点，得到的范围，联立直线与椭圆方程，整理，表示出，，从而表示出，转化成函数最大值问题求解．
（1）由题可得：
，解得：
所以椭圆的方程为：
．
，联立直线与椭圆方程得：
，整理得：
，所以，
直线与椭圆有两个不同的交点，，则：
解得：
所以=，
当且仅当时，等号成立．
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了韦达定理、弦长公式及直线与椭圆相交知识，考查了转化思想及计算能力，属于基础题．
22．已知函数，常数a大于零.
（1）若，求的单调区间；
（2）若函数存在零点，求证：
（1）单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）证明见解析.
（1）求出的导数，构造函数，可得单调递增，，即可得出的正负，判断出单调区间；
（2）可得，构造函数，通过导数判断的单调性，求出的值域即可.
（1）当时，，
令，
显然单调递增，且，
∴当时，，当时，，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：
当时，由函数，得，
由单调递减，且，
得在上单调递增，在上单调递减，
故在处取最大值，最大值为，
∴，得.
已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：
直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
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