江苏专用高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第38课直接证明与间接证明教师用书04140167Word格式文档下载.docx

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①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；

②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．（　　）

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（　　）

（3）用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．（　　）

（4）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．用反证法证明命题：

“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________．

方程x2＋ax＋b＝0没有实根　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．]

3．要证明＋<

2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是____________．（填序号）

①综合法；

　　　　　　　②分析法；

③反证法；

④归纳法．

②　[要证明＋<

2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]

4．已知a，b，x均为正数，且a>

b，则与的大小关系是__________．

>

　[∵－＝>

0，

∴>

.]

5．（教材改编）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．

等边　[由题意2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，

∴a2＋c2－2ac＝0，即（a－c）2＝0，∴a＝c，

∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]

综合法

　如图381所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝.

（1）求证：

平面PAB⊥平面PCD；

（2）求三棱锥DPBC的体积．

图381

[解]　

（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA.

因为PA＝PD＝AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.

又CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD

又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.

（2）取AD的中点O，连接OP，如图

因为PA＝PD，所以PO⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以PO⊥平面ABCD.

即PO为三棱锥PBCD的高，

由PA＝PD＝AD＝，知OP＝1.

因为底面ABCD是正方形，所以S△BCD＝×

2×

2＝2.所以V三棱锥DPBC＝V三棱锥PBCD＝PO·

S△BCD＝×

1×

2＝.

[规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．

[变式训练1]　已知函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象在交点（0,0）处有公共切线．

（1）求a，b的值；

（2）证明：

f（x）≤g（x）.【导学号：

62172205】

[解]　

（1）f′（x）＝，g′（x）＝b－x＋x2，

由题意得

解得a＝0，b＝1.

令h（x）＝f（x）－g（x）

＝ln（x＋1）－x3＋x2－x（x>

－1）．

h′（x）＝－x2＋x－1＝.

所以h（x）在（－1,0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数．

h（x）max＝h（0）＝0，h（x）≤h（0）＝0，即f（x）≤g（x）.

分析法

　已知a>

0，求证：

－≥a＋－2.

[证明]　要证－≥a＋－2，

只需要证＋2≥a＋＋.

因为a>

0，故只需要证2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只需要证2≥，

只需要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

[规律方法]　1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．

2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．

[变式训练2]　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：

＋＝.

[证明]　要证＋＝，

即证＋＝3，也就是＋＝1，

只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），

需证c2＋a2＝ac＋b2，

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°

，

由余弦定理，得

b2＝c2＋a2－2accos60°

即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．

于是原等式成立.

　设{an}是公比为q的等比数列．

（1）推导{an}的前n项和公式；

（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

[解]　

（1）设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝

假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，

（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）（ak＋2＋1），

a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·

a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

[规律方法]　用反证法证明问题的步骤：

（1）反设：

假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；

（否定结论）

（2）归谬：

将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；

（推导矛盾）

（3）立论：

因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．（命题成立）

[变式训练3]　已知a≥－1，求证三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根.【导学号：

62172206】

[证明]　假设三个方程都没有实数根，则

⇒

∴－<

a<

－1.

这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立．

[思想与方法]

1．综合法与分析法的关系：

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；

或两种方法交叉使用．

2．反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法证明的关键：

①准确反设；

②从否定的结论正确推理；

③得出矛盾．

[易错与防范]

1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．

2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

课时分层训练（三十八）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．下列表述：

①综合法是由因导果法；

②综合法是顺推法；

③分析法是执果索因法；

④分析法是逆推法；

⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有____________．（填序号）

①②③④⑤　[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]

若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是____________．（填序号）

①假设a，b，c至多有一个是偶数；

②假设a，b，c至多有两个偶数；

③假设a，b，c都是偶数；

④假设a，b，c都不是偶数．

④　[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]

3．若a，b，c为实数，且a<

b<

0，则下列命题正确的是____________.

【导学号：

62172207】

①ac2<

bc2；

　　　　　　　②a2>

ab>

b2；

③<

；

④>

.

②　[a2－ab＝a（a－b），

∵a<

0，∴a－b<

∴a2－ab>

∴a2>

ab.

又ab－b2＝b（a－b）>

0，∴ab>

b2，

即a2>

b2.]

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：

“设a>

b>

c，且a＋b＋c＝0，求证<

a”索的因应是________．（填序号）

①a－b>

0;

②a－c>

0；

③（a－b）（a－c）>

④（a－b）（a－c）<

0.

③　[由题意知<

a⇐b2－ac<

3a2

⇐（a＋c）2－ac<

⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<

⇐－2a2＋ac＋c2<

⇐2a2－ac－c2>

⇐（a－c）（2a＋c）>

0⇐（a－c）（a－b）>

0.]

5．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________．

x≠－1且x≠1　[“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]

6．设a>

0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________．

m<

n　[法一（取特殊值法）：

取a＝2，b＝1，得m<

n.

法二（分析法）：

－<

⇐＋>

⇐a<

b＋2·

＋a－b⇐2·

0，显然成立．]

7．下列条件：

①ab>

0，②ab<

0，③a>

0，b>

0，④a<

0，b<

0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．

3　[要使＋≥2，只要>

0，且>

0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]

8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若x1＋x2>

0，则f（x1）＋f（x2）____________0.（填“>

”“<

”或“＝”）【导学号：

62172208】

<

　[∵x1＋x2>

0，∴x1>

－x2，

又f（x）是奇函数，且在[0，＋∞）上单调递减，

故f（x）在R上单调递减，

故