易拉罐形状和尺寸的最优设计方案PPT文档格式.ppt

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,问题四：

引入黄金分割点，综合考虑压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点的新型易拉罐。

问题五：

对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。

二、模型假设,三、符号说明,规划的目标函数；

易拉罐的表面积；

易拉罐的体积；

正圆柱体形易拉罐底面的半径；

圆台上表面的半径；

圆台下表面的半径；

易拉罐侧面的高度；

易拉罐上顶的厚度；

易拉罐圆台部的厚度；

易拉罐侧面的厚度；

易拉罐底面的厚度；

；

三、符号说明,圆台的母线长度；

易拉罐焊缝的长度；

易拉罐所用材料量；

为各部分的系数；

易拉罐的各种压强；

易拉罐底的弧面面积；

易拉罐底的搭接角；

圆台的高；

易拉罐的美观度；

易拉罐底面的圆弧角,问题一：

四、模型分析,分析一：

可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度。

分析三：

易拉罐的纵断面上部是圆台，下部是正圆柱体，逐步求解易拉罐的最优尺寸，建立模型四、五、六，同样通过拉格朗日乘数法求解。

验证结果，把实际数据代入模型进行检验。

分析五：

计算过程中的优缺点以及最优模型的应用与推广。

分析二：

对于一个体积给定的正圆柱体，最优考虑材料最省，求解其最优设计：

首先，考虑最简单的情况：

易拉罐各点罐壁厚度相同，建立模型一：

将表面积的大小作为目标函数，求解该正圆柱体的表面积最小时所对应的尺寸（半径r和高h的比值）；

易拉罐各点罐壁厚度不同,建立模型二：

以用料最少作为目标函数，通过拉格朗日乘数法求解易拉罐的最优尺寸；

再进一步考虑易拉罐焊缝增加的工作量。

在模型二的基础上建立模型三：

将焊缝的长短也作为目标函数之一，同样通过拉格朗日乘数法求解最优尺寸；

最后，我们把问题一所得的数据代入进行检验，看理论值与实际值是否吻合，把它作为衡量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。

分析四：

日常生活中，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。

因此，在满足用料最省的前提下，引入黄金分割和压强，建立优化模型。

可以从以下几个方面来考虑：

（一）增加美观度，引入黄金分割点来判断，使得易拉罐的外形达到最优。

（二）考虑压强变化所引起的底面弧度变化，不仅使用料最省，而且对于不同种类饮料，作出不同类的易拉罐设计。

（三）考虑改变易拉罐的材料，例如可以使用纸质材料，使得更环保，更安全。

最终作出新型易拉罐的设计图。

五、模型建立,问题二：

正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：

容积为：

表面积为：

模型一：

图1各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐,模型一：

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根据材料的用量与其体积成正比。

容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：

图2有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐,模型二：

应使Y取最小值，,模型二：

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度4的情形在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝长度也尽量取到最小。

根据模型分析，可得焊缝长度：

将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以将二者直接相加。

模型三：

（此模型即为求解问题二的完善模型）,问题三：

圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型,

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形此时，以易拉罐表面积的大小来衡量尺寸的优劣,图3各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐,圆柱侧面的面积为：

圆柱底面的面积为：

易拉罐的表面积为：

由于圆台的斜率为一定0.31,模型四:

由图3得圆台的上面、侧面的面积为：

模型四：

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形,图4有不同罐壁厚度易拉罐的圆台,模型五:

如图，易拉罐所需材料量为：

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝长度也尽量取到最小。

由此可得模型六：

（模型六为求解问题三的完善模型）,焊缝长度：

自己设计易拉罐最优形状和尺寸模型,

（1）考虑美观度的情形在模型六的基础上引入美观度来描述易拉罐的外形是否美观，考虑易拉罐的直径和高度之比趋向于黄金分割点，即：

，,取得最小值时即为最优解由此可得模型七：

（2）考虑压强引起的底面弧度变化上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接（粘合）很牢固、耐压。

对于上拱的底面，是为了耐压，从物理角度分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表面张力有拉平液面的趋势，从而对液体产生附加压强。

附加压强的方向由表面张力的方向确定，大小可以用液面内外的压强差来表示3,图5易拉罐的底面示意图,对于下表面而言，受到的压力包括三部分：

一：

通过小液块的边线作用在液块上的向上的表面张力；

二：

液体内气体产生的作用于液块底面向下的压力；

三：

液体本身向下的重力。

1，设球形液面半径为单位长度液体表面的张力为T,（大小为液体的表面张力系数）,则小液块边线所具有的总张力向下分量为：

表示液体内外的压强差，则小液块所受的向上的张力为：

这两部分力方向相反，在平衡时大小相等，所以,图5易拉罐的底面示意图,图6易拉罐的底面积示意图,所用材料量为：

底部的上拱必然会引起所用材料的增多,易拉罐的底面积为：

2，液体重力作用产生的压强：

3，易拉罐内部气体压强为一定值：

易拉罐下表面所受到的压强为：

模型八：

1.问题一的求解表110种355ml易拉罐饮料的相关测量数据,六、模型求解,表2GBT91062001中规定的罐体主要尺寸（单位：

毫米）5,

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根据模型二，用拉格朗日乘数法求解新的函数：

然后分别对,，,，,解得：

即圆柱体的高与半径之比为6时为最优尺寸,

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形根据模型一知：

取最小值时，必定有,，,图7体积一定时,随,变化的曲线,即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。

根据问题一中测得的实际数据可以得到表3检验数据表,由表3可知：

所有,均在此范围内，在1与3之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可大致得出此最优值应该在1.5附近。

因此，实际值是合理的，而,的比例关系式也符合实际情况。

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形对模型三用拉格朗日乘数法按

（2）的求解步骤求解得：

，,此时的r和h关系即为最优设计尺寸。

3问题三的求解

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形根据模型四，通过,编程求解，得到要使得表面积最小,即圆柱体没有顶部的圆台，这显然与已知不符，因此，我们考虑用易拉罐所用材料最少为目标函数来求解。

，,，,

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根据模型五，用拉格朗日乘数法求解步骤求解，先求偏导数，然后令偏导数为0解最小值:

从而可求得:

，,四者之间的关系：

令,代入表1的数值，结果见表4,表4,数据表,检验2，结果如下：

代入表1的数值，结果见表4表4,与,数据表,对表4中,进行配对样本,由结果可知，,结果的差异性不显著，不存在显著差异，说明理论值与实际值相吻合,即,，,，,之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸最优。

易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形对模型六同样用拉格朗日乘数法得：

化简可得：

因此，当,，,之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸最优。

（1）考虑美观度的情形模型七用拉格朗日乘数法得：

的关系式，此时着重考虑,接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最优尺寸。

之间的关系式。

为45，而市售的罐底的搭接角度,4问题四的求解,根据模型解出新的搭接角度,为7790。

（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形模型八用拉格朗日乘数法理论上可算出给定压强下的,（3）考虑环保的情形表5铝易拉罐和纸易拉罐比较表,由表可知，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观同铝易拉罐，不污染环境，是国际推广的最优绿色包装，它使用安全卫生，生产工艺简单，投资少，尤其是成本低的特点最突出。

既考虑美观又兼顾消费者的满意度，我们设计中部凹陷，可防滑，令,，,考虑节约材料，则,图9新型易拉罐的立体图,最终，得到新型易拉罐的设计图如下：

图8新型易拉罐剖面示意图,利用模型八，求出不同体积下易拉罐的最优尺寸，具体数值如下表：

利用模型八，求出不同体积下易拉罐的最优尺寸，具体数值如下表：

表6各种体积下的最优尺寸,优点：

1：

逐步分析了表面积大小、用料多少、焊缝长短、是否美观等因素，综合考虑建立模型，具有较强的实用性。

在模型求解上，利用拉格朗日乘数法用程巧妙地求出函数的最优解，并利用已测量的结果进行检验，验证了实际值的合理性和模型的准确性。

2：

分析了底面对液体产生的附加压强以及易拉罐材料的种类，进一步对模型进行优化，并给出了不同体积易拉罐的最优设计尺寸，可供易拉罐生产商参考。

本文所设计的易拉罐也可以应用于其它罐装食物，还可以推广到其他类似行业，例如：

酒业中酒瓶的设计、日用品盛装容器的设计、食品包装的设计等等。

七、模型评价与推广,不足之处：

在于考虑的因素太多，使得求解模型时的计算复杂，耗费时间。

二：

模型的推广,一：

模型的评价,时间过得很快，转眼本学期我们学习数学建模也将接近尾声了，经过一段时间的学习使我认识到：

所谓的数学建模就是构造数学模型的过程,即用数学语言公式、符号、图表等刻画和描述实际问题,再经过一系列的数学处理得到定量或定性的结果,以供人们作分析、预报、决策和控制。

首先，应结合实际作出合理化的假设，简化、提炼问题，然后，用数学工具、方法建立数学模型，这是解决问题的关键，也是难点，此时，计算机编程起到了重要作用，为解决实际问题开辟了广阔的道路。

最后，模型是否贴近实际这就需要接受检验。

否则，数学模型的建立与解答即使再正确也只能是空中楼阁而毫无