行列式典型例题Word格式.docx
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（）
解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
这个题的特殊情形是
可作为公式记下来．
例2.3计算阶行列式：
其中．
解这道题有多种解法．
方法1化为上三角行列式
其中，于是．
方法2升阶（或加边）法
方法3递推法．将改写为
由于
因此=为递推公式，而，于是
==
例２.4设，证明存在使.
证因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,（0,1）内可导,且
由罗尔定理知,存在,使.
例2.5计算=．
解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．
方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：
从下向上，逐行操作．
（+）
其中
由于是范德蒙行列式，故=
方法2
其中，
方法3用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在中添加3次幂的一
行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：
按第5列展开得到的是的4次多项式，且的系数为
又利用计算范得蒙行列式的公式得
=
其中的系数为
由的系数相等得：
例2.6设，计算A41+A42+A43+A44=?
其中A4j（j=1,2,3,4）是|A|中元素a4j的代数余子式.
解直接求代数余子式的和工作量大．可将改写为，故
A41+A42+A43+A44
==
例2.7求解方程:
解方法1
由题设知
所以是原方程的解.
方法2由题设知,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成
于是原方程的解为:
例2.8计算元素为aij=|i－j|的n阶行列式.
解方法1由题设知，=0，，，故
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．
=
例2.9计算行列式．
解方法1按第一列展开：
-=-
=（-=（-（-
方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：
=（（
例2.10计算=，其中未写出的元素都是0．
解方法1利用公式=．
采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作次相邻对换）；
最后一列逐列和上列换，换到第2列（作次相邻对换），得到
===
方法2利用行列式展开定理进行求解．
+
上面第1个行列式是的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以
===
例2.11计算．
解方法１采用递推的方法进行求解．
即，，
，
故
方法2采用降阶的方法进行求解．
例2.12证明
D==
证方法1递推法按第1列展开，有
D=xD+（－1）a=xD+a
由于D=x+a，，于是
D=xD+a=x（xD+a）+a=xD+ax+a
==xD+ax++ax+a=
方法2第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x倍分别加到第1列上
===f
其中
或D
==f
方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．
D
xk=x（++++a+x）
方法4+
++
+
=（－1）（－1）a+（－1）（－1）ax
++（－1）（－1）ax+（－1）（a+x）x
=
例2.13计算n阶“三对角”行列式
D=
解方法1递推法．
DD—
D－D
即有递推关系式D=D－D（n3）
故＝
递推得到＝＝
＝＝
而，＝＝，代入上式得
（2.1）
由递推公式得
＝
＝αD＋＝
＝＋＋＋＝
方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式
D=＋
上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式
=β
于是得递推公式，已与（2.1）式相同．
方法3在方法1中得递推公式
D=D－D
又因为当时D==
===
D==-2
==
于是猜想，下面用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．
当n=k+1是，由递推公式得
D=D－D
=—=
所以对于nN，等式都成立．
第二部分
这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．
例2.14设A为3×
3矩阵,|A|=－2,把A按行分块为,其中是A的第行,则行列式______.
解==
例2.15判断题
（1）若是可乘矩阵，则．（）
（2）若均为阶方阵，则．（）
解
（1）错误，因为不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．
（2）错误，例如取，，．
例2.16证明:
奇数阶反对称矩阵的行列式为零.
证（n为奇数）.所以|A|=0.
例2.17（数四，01，3分）设矩阵，且秩3，则=
解由于
由3，知=0，而时，1，故必有．
例2.18若，均为3阶可逆方阵，，，计算．
解 =
===2
例2.19设3阶方阵满足方程，试求矩阵以及行列式，其中．
解由，得，即
由于，
，
所以．
例2.20设为3阶方阵，=2，求的值．
解方法1化为关于的形式进行计算．
利用公式，，有
====
方法2化为关于的形式计算．
利用公式，，=，有
====
例2.21（数四，98，3分）设均为阶方阵，=2，=-3，求的值．
解====
例2.22若都是4维列向量，且4阶行列式，，计算4阶行列式的值．
解如果行列式的列向量组为，则此行列式可表示为，利用行列式的性质，有
+=-
=+=
例2.23计算行列式，其中
解=
这是逆对角的上三角行列式，所以
又，故．
注这里用了公式：
若为阶方阵，为阶方阵，则=．
例2.24若为阶方阵，为单位矩阵，满足，，求．
解方法1由有
即=0，而，所以=0．
方法2因为===
即=
有=0，而，所以=0．
方法3由知矩阵为正交矩阵，即=1，=1，又因为，所以有，故
即2=0，=0．
例2.25若为阶正定矩阵，为阶单位矩阵，证明的行列式大于1．
证方法1因为为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设的个特征值为，且，由特征值的性质知，的个特征值为，于是．
方法2因为正定矩阵是对称矩阵，因此可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵有
即
例2.26设，求
解利用特征值法进行求解，即利用公式．
=+
矩阵的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为
=，=0
所以特征值为，故=．
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