行列式典型例题Word格式.docx
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()
解采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素,可在保持
原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.
这个题的特殊情形是
可作为公式记下来.
例2.3计算阶行列式:
其中.
解这道题有多种解法.
方法1化为上三角行列式
其中,于是.
方法2升阶(或加边)法
方法3递推法.将改写为
由于
因此=为递推公式,而,于是
==
例2.4设,证明存在使.
证因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,(0,1)内可导,且
由罗尔定理知,存在,使.
例2.5计算=.
解这不是范得蒙行列式,但可借助求解范得蒙行列式进行求解.
方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解:
从下向上,逐行操作.
(+)
其中
由于是范德蒙行列式,故=
方法2
其中,
方法3用升阶法.由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素,在中添加3次幂的一
行元素,再添加一列构成5阶范得蒙行列式:
按第5列展开得到的是的4次多项式,且的系数为
又利用计算范得蒙行列式的公式得
=
其中的系数为
由的系数相等得:
例2.6设,计算A41+A42+A43+A44=?
其中A4j(j=1,2,3,4)是|A|中元素a4j的代数余子式.
解直接求代数余子式的和工作量大.可将改写为,故
A41+A42+A43+A44
==
例2.7求解方程:
解方法1
由题设知
所以是原方程的解.
方法2由题设知,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成
于是原方程的解为:
例2.8计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式.
解方法1由题设知,=0,,,故
其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第列.
=
例2.9计算行列式.
解方法1按第一列展开:
-=-
=(-=(-(-
方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算,选定第2、3行,有:
=((
例2.10计算=,其中未写出的元素都是0.
解方法1利用公式=.
采用逐行操作,将最后一行逐行和上行进行对换,直到换到第2行(作次相邻对换);
最后一列逐列和上列换,换到第2列(作次相邻对换),得到
===
方法2利用行列式展开定理进行求解.
+
上面第1个行列式是的形式,而第2个行列式按第1列展开,所以
===
例2.11计算.
解方法1采用递推的方法进行求解.
即,,
,
故
方法2采用降阶的方法进行求解.
例2.12证明
D==
证方法1递推法按第1列展开,有
D=xD+(-1)a=xD+a
由于D=x+a,,于是
D=xD+a=x(xD+a)+a=xD+ax+a
==xD+ax++ax+a=
方法2第2列的x倍,第3列的x倍,,第n列的x倍分别加到第1列上
===f
其中
或D
==f
方法3利用性质,将行列式化为上三角行列式.
D
xk=x(++++a+x)
方法4+
++
+
=(-1)(-1)a+(-1)(-1)ax
++(-1)(-1)ax+(-1)(a+x)x
=
例2.13计算n阶“三对角”行列式
D=
解方法1递推法.
DD—
D-D
即有递推关系式D=D-D(n3)
故=
递推得到==
==
而,==,代入上式得
(2.1)
由递推公式得
=
=αD+=
=+++=
方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式
D=+
上式右端第一个行列式等于αD,而第二个行列式
=β
于是得递推公式,已与(2.1)式相同.
方法3在方法1中得递推公式
D=D-D
又因为当时D==
===
D==-2
==
于是猜想,下面用数学归纳法证明.
当n=1时,等式成立,假设当nk时成立.
当n=k+1是,由递推公式得
D=D-D
=—=
所以对于nN,等式都成立.
第二部分
这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题,感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看.但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多.
例2.14设A为3×
3矩阵,|A|=-2,把A按行分块为,其中是A的第行,则行列式______.
解==
例2.15判断题
(1)若是可乘矩阵,则.()
(2)若均为阶方阵,则.()
解
(1)错误,因为不一定是方阵,即不一定有对应的行列式.
(2)错误,例如取,,.
例2.16证明:
奇数阶反对称矩阵的行列式为零.
证(n为奇数).所以|A|=0.
例2.17(数四,01,3分)设矩阵,且秩3,则=
解由于
由3,知=0,而时,1,故必有.
例2.18若,均为3阶可逆方阵,,,计算.
解 =
===2
例2.19设3阶方阵满足方程,试求矩阵以及行列式,其中.
解由,得,即
由于,
,
所以.
例2.20设为3阶方阵,=2,求的值.
解方法1化为关于的形式进行计算.
利用公式,,有
====
方法2化为关于的形式计算.
利用公式,,=,有
====
例2.21(数四,98,3分)设均为阶方阵,=2,=-3,求的值.
解====
例2.22若都是4维列向量,且4阶行列式,,计算4阶行列式的值.
解如果行列式的列向量组为,则此行列式可表示为,利用行列式的性质,有
+=-
=+=
例2.23计算行列式,其中
解=
这是逆对角的上三角行列式,所以
又,故.
注这里用了公式:
若为阶方阵,为阶方阵,则=.
例2.24若为阶方阵,为单位矩阵,满足,,求.
解方法1由有
即=0,而,所以=0.
方法2因为===
即=
有=0,而,所以=0.
方法3由知矩阵为正交矩阵,即=1,=1,又因为,所以有,故
即2=0,=0.
例2.25若为阶正定矩阵,为阶单位矩阵,证明的行列式大于1.
证方法1因为为正定矩阵,因此所有的特征值大于零.设的个特征值为,且,由特征值的性质知,的个特征值为,于是.
方法2因为正定矩阵是对称矩阵,因此可对角阵,且所有的特征值大于零,故存在可逆阵有
即
例2.26设,求
解利用特征值法进行求解,即利用公式.
=+
矩阵的秩为1,由第十三讲的注意(7)知它特征值为
=,=0
所以特征值为,故=.