高中数学专题132函数的极值与导数试题新人教A版选修22Word文件下载.docx

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3．极大值极小值

K—重点

利用导数求函数极值的方法

K—难点

函数极值的应用

K—易错

对函数取得极值的充要条件理解不到位

求函数的极值

（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．

（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）．

已知函数（且），求函数的极大值与极小值．

【答案】见解析．

【解析】由题设知，．

令得或．

当时，随的变化，与的变化如下：

+

–

极大值

极小值

则，．

故，．

【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．

解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．

已知函数在，处取得极值．

（1）求，的值；

（2）求在点处的切线方程．

【答案】

（1），；

（2）．

【解析】

（1）由题可得，

令，

（2），则，得．

又由，得．

从而，得所求切线方程为，即．

1．函数在处取得极值，则实数的值为

A．B．

C．D．

2．函数的极值点的个数是

A．0B．1

C．2D．无数个

3．如图是的导函数的图象，现有四种说法：

①在上是增函数；

②是的极小值点；

③在上是减函数，在上是增函数；

④是的极小值点．

以上说法正确的序号为

A．①②B．②③

C．③④D．④

4．函数在上的极小值点为

A．0B．

5．设，若函数有大于零的极值点，则

6．函数的极小值为______________．

7．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是______________．

8．已知函数，求函数的极值．

9．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值．

10．设，若函数有大于的极值点，则

11．已知函数存在极小值，则实数的取值范围为

12．设函数满足，，则当时函数

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

13．已知函数，当时，函数的极值为，则______________．

14．已知函数在处有极值．

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性并求出单调区间．

15．已知函数（e为自然对数的底数，，）．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

16．（2017新课标全国II理）若是函数的极值点，则的极小值为

C．D．1

17．（2017山东）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

18．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：

；

（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．

1．【答案】B

【解析】，函数在处取得极值，则，可得．故选B．

2．【答案】A

【解析】，由可得，该方程无解，因此函数无极值点．故选A．

4．【答案】C

【解析】因为，所以，令，得或，由可得；

由可得或，所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为．故选C．

5．【答案】A

【解析】因为，所以，由题意知，有大于0的实根，可得，因为，所以，所以，故选A．

6．【答案】

【解析】，令，得，当或时，，当时，，所以当时，函数取极小值，且极小值是．

7．【答案】

【解析】因为，所以，

又因为函数有两个极值，所以有两个不等的实数根，所以，

即，解得或．故实数的取值范围是．

9．【答案】

（1）；

（2），．

（1）由题意可得，故．

又，故曲线在点处的切线方程为，即．

（2）由可得或，

，随的变化情况如下表所示，

↗

↘

，．

10．【答案】C

【解析】函数的导数为，函数有大于的极值点，即有大于的实根，所以函数与函数的图象在y轴右侧有交点，所以，故选C．

11．【答案】A

【解析】，因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根，设为，．故，所以实数的取值范围为，故选A．

12．【答案】D

【解析】由题意得，令，

则，

因此当时，；

当时，，

故，

因此当时，恒成立，所以当时函数既无极大值也无极小值，故选D．

14．【答案】

（2）的递减区间是，递增区间是．

（1）由题可得，则，所以．

（2）由

（1）可知，则函数的定义域为，

，

令，即，解得或（舍去），

当时，，单调递减，当时，，单调递增．

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

15．【答案】

（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；

当时，的单调递减区间是，单调递増区间是，极小值为，无极大值；

（2）由，可得，

因为，所以，即对任意恒成立，

记，则，

因为，所以，即在上单调递增，

故，所以实数的取值范围为．

16．【答案】A

【解析】由题可得，

因为，所以，，故，

令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为，故选A．

【名师点睛】

（1）可导函数y＝f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧与右侧f′（x）的符号不同；

（2）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

17．【答案】

（2）见解析．

【思路分析】

（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；

（2）由，通过讨论确定的单调性，再由单调性确定极值．

（2）因为，

所以，

令，则，所以在上单调递增，

因为，所以当时，；

当时，．

①当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增．

所以当时取到极大值，极大值是，

当时取到极小值，极小值是．

②当时，，

当时，，单调递增；

所以在上单调递增，无极大值也无极小值．

③当时，，

所以当时取到极大值，极大值是；

综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是．

（1）求函数f（x）极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f′（x）；

③解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根；

④检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值．

（2）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

18．【答案】

（2）见解析；

（3）．

（1）先求导函数的极值：

，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得；

（2）由

（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即；

（3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性，在上单调递减．而，故可得的取值范围．

因为有极值，故有实根，从而，即．

当时，，故在R上是增函数，没有极值；

当时，有两个相异的实根，．

列表如下：

x

故的极值点是．从而．因此，定义域为．

（2）由

（1）知，．设，则．

当时，，从而在上单调递增．

因为，所以，故，即．因此．

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，．

因为，于是在上单调递减．

因为，于是，故．因此a的取值范围为．