高数第六章答案Word格式.docx
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（2）与直线yx及x2
所求的面积为
（3）yexyex与直线x1
（4）y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb（b>
a>
0）.
解
3求抛物线yx24x3及其在点（03）和（30）处的切线所围成的图形的面积
y2x4
过点（0,3）处的切线的斜率为4切线方程为y4（x3）
过点（3,0）处的切线的斜率为2切线方程为y2x6
两切线的交点为所求的面积为
4求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积
2yy2p
在点处法线的斜率k1
法线的方程为即
求得法线与抛物线的两个交点为和
法线与抛物线所围成的图形的面积为
5求由下列各曲线所围成的图形的面积
（1）2acos
a2
（2）xacos3t,yasin3t;
（3）=2a（2+cos）
6求由摆线xa（tsint）ya（1cost）的一拱（0t2）与横轴所围成的图形的面积
7求对数螺线ae（）及射线所围成的图形面积
解
8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积
（1）3cos及1cos
曲线3cos与1cos交点的极坐标为由对称性所求的面积为
（2）及
曲线与的交点M的极坐标为M所求的面积为
9求位于曲线y=ex下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
解设直线ykx与曲线yex相切于A（x0y0）点则有
求得x01y0eke
所求面积为
10求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值
解设弦的倾角为由图可以看出抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
显然当时A10当时A10
因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
11把抛物线y24ax及直线xx0（x00）所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积
解所得旋转体的体积为
12由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
13把星形线所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积
解由对称性所求旋转体的体积为
14用积分方法证明图中球缺的体积为
证明
15求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积
（1）绕y轴
解
（2）x0xay0绕x轴
（3）绕x轴
（4）摆线xa（tsint）ya（1cost）的一拱y0绕直线y2a
16求圆盘绕xb（b>
0）旋转所成旋转体的体积
17设有一截锥体其高为h上、下底均为椭圆椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B求这截锥体的体积
解建立坐标系如图过y轴上y点作垂直于y轴的平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴分别为
截面的面积为
于是截锥体的体积为
18计算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积
解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A（x）由已知条件知它是边长为的等边三角形的面积其值为
所以
19证明由平面图形0axb0yf（x）绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
证明如图在x处取一宽为dx的小曲边梯形小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2xf（x）dx这就是体积元素即
dV2xf（x）dx
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
20利用题19和结论计算曲线ysinx（0x）和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积
21计算曲线ylnx上相应于的一段弧的长度
令即则
22计算曲线上相应于1x3的一段弧的长度
解
所求弧长为
23计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度
解由得两曲线的交点的坐标为
所求弧长为
因为
所以
24计算抛物线y22px从顶点到这曲线上的一点M（xy）的弧长
25计算星形线的全长
解用参数方程的弧长公式
26将绕在圆（半径为a）上的细线放开拉直使细线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为
计算这曲线上相应于t从0变到的一段弧的长度
解由参数方程弧长公式
27在摆线xa（tsint）ya（1cost）上求分摆线第一拱成13的点的坐标
解设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s（t0）则
当t02时得第一拱弧长s
（2）8a为求分摆线第一拱为13的点为A（xy）令
解得因而分点的坐标为
横坐标
纵坐标
故所求分点的坐标为
28求对数螺线相应于自0到的一段弧长
解用极坐标的弧长公式
29求曲线1相应于自至的一段弧长
解按极坐标公式可得所求的弧长
30求心形线a（1cos的全长
习题63
1由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F（单位N）与伸长量s（单位cm）成正比即Fks（k为比例常数）如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功
解将弹簧一端固定于A另一端在自由长度时的点O为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds所求功为
k（牛厘米）
2直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽设温度保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功？
解由玻马定律知
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x厘米时压强为P（x）牛/厘米2则
功元素为
所求功为
（J）
3
（1）证明把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是
其中g是地面上的重力加速度R是地球的半径
（2）一颗人造地球卫星的质量为173kg在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630的高空处克服地球引力要作多少功？
已知g98m/s2地球半径R6370km
证明
（1）取地球中心为坐标原点把质量为m的物体升高的功元素为
所求的功为
（2）（kJ）
4一物体按规律作直线运动媒质的阻力与速度的平方成正比计算物体由x0移至xa时克服媒质阻力所作的功
解因为所以
阻力而所以
功元素dWf（x）dx所求之功为
5用铁锤将一铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比在击第一次时将铁钉击入木板1cm如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等问锤击第二次时铁钉又击入多少？
解设锤击第二次时铁钉又击入hcm因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x（cm）成正比即fkx功元素dWfdxkxdx
击第一次作功为
击第二次作功为
因为所以有
解得（cm）
6设一锥形贮水池深15m口径20m盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少功？
解在水深x处水平截面半径为功元素为
1875（吨米）57785.7（kJ）
7有一闸门它的形状和尺寸如图水面超过门顶2m求闸门上所受的水压力
解建立x轴方向向下原点在水面
水压力元素为
闸门上所受的水压力为
（吨）=2058（kN）
8洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体尺寸如图所示当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力
解建立坐标系如图则椭圆的方程为
压力元素为
所求压力为
（吨）17.3（kN）
（提示积分中所作的变换为）
9有一等腰梯形闸门它的两条底边各长10m和6m高为20m较长的底边与水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力
解建立坐标系如图直线AB的方程为
（吨）14388（千牛）
10一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下且与水面平行而顶离水面3cm试求它每面所受的压力
解建立坐标系如图
腰AC的方程为压力元素为
（克）（牛）
11设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M试求这细棒对质点M的引力
解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy引力元素为
dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为
12设有一半径为R、中心角为
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