第29物理竞赛复赛模拟赛题第4套答案及评分标准Word格式.docx
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轮子的角加速度为
在地面上看B的加速度：
，（3分）
地面上看墙角加速为，由于下段绳子没有转动，所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加速度为0，所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为
（3分）
地面上看墙顶加速度为，由于上段绳子转动角速度，所以上段绳子上靠近滑轮的点沿绳加速度为（1分）
所以相对滑轮上段绳子出绳子的加速度为
由于绳子长度不变，所以
（1分）
解得（4分）只要答案正确，方法没有明显错误给全分
第二题（20分）
一个长度为的扁平的水槽与水平夹角为，水槽的质量为，在两端用细线将水槽吊起来。
在水槽最下端有一个质量为的喷水机，从水槽中抽水，以速度将水沿着与水槽夹角为的方向喷出，水则刚好能喷到水槽上端，水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响，匀速流到水槽底端，形成稳定的水流。
重力加速度为，求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度。
喷水出口的面积为，水密度为，水槽中水下流速度为，为了保持平衡，两根绳上的拉力各为多少？
（两根绳子保持竖直方向）
（1）重力加速度沿水槽和垂直于水槽方向的分量分别为
和
沿水槽运动方程：
（2分）
垂直于水槽：
∴（2分）
（2）以整体为对象，水的冲量是内部作用，不必计算。
喷出的水在水平方向的分速度不变，故其中心在中间
水槽中的水匀速运动，故其重心也在中间
即：
空中的水+水槽中的水+水槽的重心
在两绳中间所在的垂直线上。
（3分）
求水的总量
单位时间爱你喷出的水质量为：
水在空中和在水槽中运行的时间分别为：
，
故水的总质量为：
其中
第三题（20分）
在光滑平面上放有一个质量为的匀质圆环，内径为。
从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为，三根弹簧连到一个质量为的质点上。
用一个恒力沿着方向作用于圆环，若与保持相对静止，则相对圆心位移为多少？
初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为，求之后圆环和质点的运动方程。
系统的加速度为：
设相对圆心位移为，设从原点到三个弹簧连接点的矢量为，则质点受到的合外力为
（4分）
等价于一个3k的弹簧
由牛顿第二定律
质心运动方程为：
由知沿轴方向的有效劲度系数为。
折合质量为，故振动角频率为（2分）
振幅为：
故质点，（3分）
环的质点：
第四题（20分）
如图一个绝缘的刚性的固定圆筒，沿着轴向有匀强磁场。
有一个电中性的粒子静止在圆筒中心，粒子突然衰变成为两个带电量为的粒子，粒子出射方向在平面内，动量大小为。
粒子之间发生碰撞时交换动量，不考虑静电作用，电量各自保持不变。
粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的，圆筒的半径满足
当衰变的两个粒子质量比为时，求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态经历的时间，并画出粒子轨迹。
令重做上一问。
虚线：
正电荷
实线：
负电荷
轨迹如图
故时间为：
为粒子转一周的时间
（2）
不失去一般性，令正电荷为，在开始阶段走的是左上和右边两个花瓣
负电荷走左下一个花瓣。
此时发生正碰，和初始状态相比，粒子速度方向转了60度。
此时时间为：
之后要重复走6次，粒子状态才能还原，周期
第五题（20分）
非洲杀人湖
非洲有一个由火山口形成的湖泊，由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。
调查发现原因在于湖底溶有大量，由于挠动大量集中涌至湖面，造成人畜窒息。
为了简单起见，假设温度恒定为时，达到溶解平衡时气相中的分压与液相中的摩尔浓度满足。
其中被称为的饱和气压。
湖的深度为，水密度为。
（溶解气体后密度几乎不变）
在湖底浓度恒定为，大气压为，假设只要水中压强小于的溶解平衡压强，就有逸出，计算出开始有逸出的深度。
（假设你算出的）
实际上在的位置并不会有逸出。
由于涨落水中可能出现一些半径为的小气泡，气泡中与溶液保持溶解平衡。
（水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略）液体的表面张力为，若外压过大则气泡被压回水中，否则气泡进一步长大，形成集中快速逸出，对人畜构成危险，计算出快出逸出的最大深度（假设你算出的）
某人插了一根管子到水底，不断向内鼓气，解决了杀人湖的问题，解释这个原理。
单层薄膜：
（6分）
即达到之前溶液是过饱和的。
到达的深度时，一旦出现一个气泡半径超过，则附加压强变小，气泡进一步变大，多溶解的就会集中冒出。
用管子鼓的气泡半径较大，产生的附加压可以忽略不计，故一但水中溶解的溶度较大，就会持续析出，而不会如第二问中集中冒出。
第六题（20分）
如图，用八根单位长度电阻为的电阻线焊接成两个正方形（焊接点电阻为零）。
大正方形边长为。
在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场。
求、导线上的电流
求两点电势差和两点电势差。
大正方形的感应电动势为：
（以逆时针为正方向）（3分）
小正方形感应电动势为：
由对称性知外圆电流相等，内圈电流也相等，没有电流从内圈到外圈。
故：
上电流：
（3分）（逆时针为正方向）
上电流为：
第七题（20分）
井底之蛙
在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。
当水注满整个井的时候，青蛙刚好能看见全部天空，水的折射为。
若此时月亮位于天顶，则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少？
当水漏掉一半的时候，青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少？
（认为星星很多，均匀的分布在天空中）
接上一问，青蛙的视野中，“天空”的边缘与“天空”的中心，星星的密度之比为多少？
地上的人看到的月亮的角宽度为，则青蛙看到的月亮的角宽度为满足：
故青蛙看到的月亮与地面人看到月亮的大小之比为（2分）
设井半径为，则可得井深满足：
水漏掉一半时青蛙能看到的最大角度满足：
数值解列表（2分）
数值解得：
星星数之比值为立体角的比值：
令入射角为，折射角为，
令青蛙从0到角度为看到的星星数为
令人从0到角度为看到的星星数为
显然，
令密度为
则有（2分）
其中为立体角，（1分）
因此（3分）
（1、人看到的密度是不变的，2、用了正弦定理）
由此时
由此时（3分）
第八题（18分）
两面平行放置的镜子、分别以和的速度相向运动，在地面参照系中某时刻两镜相距，此时从镜面向着发出一束激光，在镜参照系中，激光频率为，激光在两面镜子间来回反射。
在地面看来，当、间距变为时，激光走过的路程为多少？
从镜为参照系，从激光发出到第一次被镜面反射，经过了多长时间？
以镜为参照系，激光先被B反射，之后第一次被镜面反射后的频率为多少？
地面系中、走过的路程之和（不是相对速度！
！
）：
故激光走过的路程为：
注意：
AB之间不是相对静止的，不能用尺缩！
在地面参照系看，经过，此时AB距离
再次回到A，进过时间
从A出发，回到A，因而可以利用钟慢效应（7分）
利用其它做法得到正确答案给全分。
地上看A发射频率为
在B上看A发射频率
在地上看B反射频率
在A上看B反射频率
计算得到（6分）
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