版高考数学理一轮全国Word文档格式.docx

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C．（－∞，－2）D．（－∞，－2]

6．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1无极值，则实数a的取值范围是（　　）

A．－3≤a≤6B．－3<

a<

6

C．a≤－3或a≥6D．a<

－3或a>

7．下列不等式对任意的x∈（0，＋∞）恒成立的是（　　）

A．x－x2≥0B．ex≥ex

C．lnx>

xD．sinx>

－x＋1

8．函数f（x）的图象如图所示，设f′（x）是f（x）的导函数，若0<

b，下列各式成立的是（　　）

A．f′<

f′<

f′（）

B．f′<

f′（）<

f′

C．f′<

D．f′<

9．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝xf′（x）的图象的一部分如图所示，则（　　）

A．f（x）的极大值为f（），极小值为f（－）

B．f（x）的极大值为f（－），极小值为f（）

C．f（x）的极大值为f（－3），极小值为f（3）

D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（－3）

10．由直线y＝0，x＝e，y＝2x及曲线y＝所围成的封闭图形的面积为（　　）

A．3＋2ln2B．3

C．2e2－3D．e

11．（2018·

抚顺调研）函数f（x）＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（　　）

A.B.

C．（－∞，0）D.

12．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）>

0，对于任意的实数x都有f（x）≥0，则的取值范围是（　　）

A.B．[2，＋∞）

C.D．[3，＋∞）

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．＝________.

14．函数f（x）＝xsinx＋cosx在上的最大值为________．

15．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为________cm.

16．已知函数f（x）＝lnx－（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）设函数f（x）＝alnx－bx2（x>

0），若函数f（x）在x＝1处与直线y＝－相切．

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）在上的最大值．

18．（12分）（2018·

长沙模拟）设函数f（x）＝（x－1）ex－kx2.

（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在[0，＋∞）上是增函数，求实数k的取值范围．

19.（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝x2（ax－3），其中a为常数．

（1）若x＝1是f（x）的一个极值点，求a的值及f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（－1,0）上是增函数，求a的取值范围．

20．（12分）已知函数f（x）＝ex－ax－a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．

（1）当a＝e时，求函数f（x）的极值；

（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

21.（12分）（2017·

广州模拟）已知函数f（x）＝2ex－（x－a）2＋3，g（x）＝f′（x）．

（1）当a为何值时，x轴是曲线y＝g（x）的切线？

（2）当a<

－1时，证明：

g（x）在[0，＋∞）上有唯一零点；

（3）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

22．（12分）设函数f（x）＝emx＋x2－mx（m∈R）．

（1）证明：

f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f（x1）－f（x2）|≤e－1，求m的取值范围．

答案精析

1．B　2.B　3.C　4.A

5．C　[f′（x）＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈（－2，－1），

使不等式f′（x）＝x2－ax＋2<

0成立，

即x∈（－2，－1）时，a<

max＝－2，

当且仅当x＝，即x＝－时等号成立．

所以满足要求的a的取值范围是（－∞，－2）．]

6．A　[f′（x）＝3x2＋2ax＋a＋6.由题意知方程3x2＋2ax＋a＋6＝0无实根或有两个相等实根，则Δ＝4a2－12（a＋6）≤0，即a2－3a－18≤0，解得－3≤a≤6.故选A.]

7．B　[对于A，当x＝3时，显然不成立；

对于B，令f（x）＝ex－ex，∴f′（x）＝ex－e，当x∈（0,1）时，f′（x）<

0，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>

0，∴当x＝1时，f（x）取得最小值，且最小值为0，

∴f（x）≥0，∴ex≥ex，故B正确；

对于C，当x＝e时，显然不成立；

对于D，当x＝0时，显然不成立，故选B.]

8．D　[由函数f（x）的图象可知，f′（x）在区间（a，b）上单调递减，由基本不等式的性质可知，>

>

，

所以f′<

f′.]

9．D　[由图象知当x<

－3时，f′（x）<

0，当－3<

x<

0时，f′（x）>

0，∴函数f（x）的极小值为f（－3）；

同理知f（x）的极大值为f（3）．]

10．B　[S＝ʃ2xdx＋ʃdx＝x2＋2lnx＝3，故选B.]

11．D　[当x∈[－2,0]时，因为f′（x）＝6x2＋6x＝6x（x＋1），

所以在[－2，－1）上，f′（x）>

0，在（－1,0]上，f′（x）≤0，

则当x∈[－2,0]时，函数有最大值，为f（－1）＝2.当a≤0时，若x>

0，显然eax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；

当a>

0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e2a≤2，得0<

a≤ln2，综上可知，a的取值范围是，故选D.]

12．B　[由题意得，f′（x）＝2ax＋b，

∵f′（0）>

0，∴b>

0，

又∵∀x∈R，都有f（x）≥0，∴a>

∴Δ＝b2－4ac≤0等价于ac≥，即≥，

即·

≥，∴c>

0.

∴＝＝1＋＋

≥1＋2≥1＋2＝2，

当且仅当＝＝，即a＝c＝b>

0时，等号成立，

∴的取值范围是[2，＋∞），故选B.]

13．0　14.

15.

解析　设圆锥的高为hcm，体积为Vcm3，

∴V＝π（400－h2）×

h，

∴V′（h）＝π（400－3h2）．令V′（h）＝0，

得h2＝，∴h＝cm.

当0<

h<

时，V′（h）>

0；

当<

20时，V′（h）<

∴当h＝时，V取得最大值．

16．－3e

解析　f′（x）＝＋＝（x>

0），

当m≥0时，f′（x）>

0，f（x）在区间[1，e]上为单调递增函数，

f（x）有最小值f

（1）＝－m＝4，得m＝－4，与m≥0矛盾；

当m<

0时，若－m<

1，即m>

－1，f（x）min＝f

（1）＝－m＝4，

得m＝－4，与m>

－1矛盾；

若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，f（x）min＝f（－m）＝ln（－m）＋1＝4，解得m＝－e3，与－e≤m≤－1矛盾；

若－m>

e，即m<

－e，f（x）min＝f（e）＝1－＝4，

解得m＝－3e，符合题意．

综上，m＝－3e.

17．解　

（1）由题意可知f

（1）＝－，f′

（1）＝0.

由于f′（x）＝－2bx（x>

0），所以

解得a＝1，b＝.

（2）由

（1）知f（x）＝lnx－（x>

令f′（x）＝－x＝＝0（x>

0），得x＝1.

故函数f（x）在上是增函数，在[1，e]上是减函数，

所以函数f（x）在上的最大值为f

（1）＝－.

18．解　

（1）当k＝1时，f（x）＝（x－1）ex－x2，

∴f′（x）＝ex＋（x－1）ex－2x＝x（ex－2）．

令f′（x）>

0，即x（ex－2）>

0，∴x>

ln2或x<

令f′（x）<

0，即x（ex－2）<

0，∴0<

ln2.

∴函数f（x）的单调递减区间是（0，ln2）；

单调递增区间是（－∞，0）和（ln2，＋∞）．

（2）易知f′（x）＝ex＋（x－1）ex－2kx＝x（ex－2k）．

∵f（x）在[0，＋∞）上是增函数，

∴当x≥0时，f′（x）＝x（ex－2k）≥0恒成立．

∴ex－2k≥0，即2k≤ex恒成立．

∵ex≥1，∴2k≤1，则k≤.

∴实数k的取值范围是.

19．解　

（1）f（x）＝ax3－3x2，f′（x）＝3ax2－6x＝3x（ax－2），∵x＝1是f（x）的一个极值点，∴f′

（1）＝3（a－2）＝0，得a＝2，经检验a＝2符合题意，∴f′（x）＝6x（x－1）．

又f（x）的定义域为R，由f′（x）>

0，得x<

0或x>

1；

由f′（x）<

0，得0<

1，∴函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（1，＋∞）；

单调递减区间为（0,1）．

（2）∵函数f（x）在区间（－1,0）上是增函数，

∴f′（x）＝3x（ax－2）≥0在（－1,0）上恒成立，即不等式a≥在（－1,0）上恒成立，

∴a≥－2，故实数a的取值范围为[－2，＋∞）．

20．解　

（1）当a＝e时，f（x）＝ex－ex－e，f′（x）＝ex－e.

当x<

1时，f′（x）<

当x>

1时，f′（x）>

所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

所以函数f（x）在x＝1处取得极小值f

（1）＝－e，函数f（x）无极大值．

（2）由f（x）＝ex－ax－a，得f′（x）＝ex－a，

若a<

0，则f′（x）>

0，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；

当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，故函数f（x）存在唯一零点x0，当x<

x0时，f（x）<

x0时，f（x）>

0.故a<

0不满足条件．

若a＝0，f（x）＝ex≥0恒成立，满足条件；

若a>

0，由f′（x）＝0，得x＝lna，当x<

lna时，f′（x）<

lna时，f′（x）>

0，所以函数f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在x＝lna处取得极小值f（lna）＝elna－a·

lna－a＝－a·

lna，由f（lna）≥0，得－a·

lna≥0，解得0<

a≤1.

综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0,1]