版高考数学理一轮全国Word文档格式.docx
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C.(-∞,-2)D.(-∞,-2]
6.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1无极值,则实数a的取值范围是( )
A.-3≤a≤6B.-3<
a<
6
C.a≤-3或a≥6D.a<
-3或a>
7.下列不等式对任意的x∈(0,+∞)恒成立的是( )
A.x-x2≥0B.ex≥ex
C.lnx>
xD.sinx>
-x+1
8.函数f(x)的图象如图所示,设f′(x)是f(x)的导函数,若0<
b,下列各式成立的是( )
A.f′<
f′<
f′()
B.f′<
f′()<
f′
C.f′<
D.f′<
9.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=xf′(x)的图象的一部分如图所示,则( )
A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-)
B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f()
C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
10.由直线y=0,x=e,y=2x及曲线y=所围成的封闭图形的面积为( )
A.3+2ln2B.3
C.2e2-3D.e
11.(2018·
抚顺调研)函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.(-∞,0)D.
12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>
0,对于任意的实数x都有f(x)≥0,则的取值范围是( )
A.B.[2,+∞)
C.D.[3,+∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.=________.
14.函数f(x)=xsinx+cosx在上的最大值为________.
15.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高为________cm.
16.已知函数f(x)=lnx-(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设函数f(x)=alnx-bx2(x>
0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在上的最大值.
18.(12分)(2018·
长沙模拟)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2.
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[0,+∞)上是增函数,求实数k的取值范围.
19.(12分)已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
(1)若x=1是f(x)的一个极值点,求a的值及f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围.
20.(12分)已知函数f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).
(1)当a=e时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
21.(12分)(2017·
广州模拟)已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,g(x)=f′(x).
(1)当a为何值时,x轴是曲线y=g(x)的切线?
(2)当a<
-1时,证明:
g(x)在[0,+∞)上有唯一零点;
(3)当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
22.(12分)设函数f(x)=emx+x2-mx(m∈R).
(1)证明:
f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.
答案精析
1.B 2.B 3.C 4.A
5.C [f′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),
使不等式f′(x)=x2-ax+2<
0成立,
即x∈(-2,-1)时,a<
max=-2,
当且仅当x=,即x=-时等号成立.
所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2).]
6.A [f′(x)=3x2+2ax+a+6.由题意知方程3x2+2ax+a+6=0无实根或有两个相等实根,则Δ=4a2-12(a+6)≤0,即a2-3a-18≤0,解得-3≤a≤6.故选A.]
7.B [对于A,当x=3时,显然不成立;
对于B,令f(x)=ex-ex,∴f′(x)=ex-e,当x∈(0,1)时,f′(x)<
0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
0,∴当x=1时,f(x)取得最小值,且最小值为0,
∴f(x)≥0,∴ex≥ex,故B正确;
对于C,当x=e时,显然不成立;
对于D,当x=0时,显然不成立,故选B.]
8.D [由函数f(x)的图象可知,f′(x)在区间(a,b)上单调递减,由基本不等式的性质可知,>
>
,
所以f′<
f′.]
9.D [由图象知当x<
-3时,f′(x)<
0,当-3<
x<
0时,f′(x)>
0,∴函数f(x)的极小值为f(-3);
同理知f(x)的极大值为f(3).]
10.B [S=ʃ2xdx+ʃdx=x2+2lnx=3,故选B.]
11.D [当x∈[-2,0]时,因为f′(x)=6x2+6x=6x(x+1),
所以在[-2,-1)上,f′(x)>
0,在(-1,0]上,f′(x)≤0,
则当x∈[-2,0]时,函数有最大值,为f(-1)=2.当a≤0时,若x>
0,显然eax≤1,此时函数在[-2,2]上的最大值为2,符合题意;
当a>
0时,若函数在[-2,2]上的最大值为2,则e2a≤2,得0<
a≤ln2,综上可知,a的取值范围是,故选D.]
12.B [由题意得,f′(x)=2ax+b,
∵f′(0)>
0,∴b>
0,
又∵∀x∈R,都有f(x)≥0,∴a>
∴Δ=b2-4ac≤0等价于ac≥,即≥,
即·
≥,∴c>
0.
∴==1++
≥1+2≥1+2=2,
当且仅当==,即a=c=b>
0时,等号成立,
∴的取值范围是[2,+∞),故选B.]
13.0 14.
15.
解析 设圆锥的高为hcm,体积为Vcm3,
∴V=π(400-h2)×
h,
∴V′(h)=π(400-3h2).令V′(h)=0,
得h2=,∴h=cm.
当0<
h<
时,V′(h)>
0;
当<
20时,V′(h)<
∴当h=时,V取得最大值.
16.-3e
解析 f′(x)=+=(x>
0),
当m≥0时,f′(x)>
0,f(x)在区间[1,e]上为单调递增函数,
f(x)有最小值f
(1)=-m=4,得m=-4,与m≥0矛盾;
当m<
0时,若-m<
1,即m>
-1,f(x)min=f
(1)=-m=4,
得m=-4,与m>
-1矛盾;
若-m∈[1,e],即-e≤m≤-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4,解得m=-e3,与-e≤m≤-1矛盾;
若-m>
e,即m<
-e,f(x)min=f(e)=1-=4,
解得m=-3e,符合题意.
综上,m=-3e.
17.解
(1)由题意可知f
(1)=-,f′
(1)=0.
由于f′(x)=-2bx(x>
0),所以
解得a=1,b=.
(2)由
(1)知f(x)=lnx-(x>
令f′(x)=-x==0(x>
0),得x=1.
故函数f(x)在上是增函数,在[1,e]上是减函数,
所以函数f(x)在上的最大值为f
(1)=-.
18.解
(1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2).
令f′(x)>
0,即x(ex-2)>
0,∴x>
ln2或x<
令f′(x)<
0,即x(ex-2)<
0,∴0<
ln2.
∴函数f(x)的单调递减区间是(0,ln2);
单调递增区间是(-∞,0)和(ln2,+∞).
(2)易知f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k).
∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴当x≥0时,f′(x)=x(ex-2k)≥0恒成立.
∴ex-2k≥0,即2k≤ex恒成立.
∵ex≥1,∴2k≤1,则k≤.
∴实数k的取值范围是.
19.解
(1)f(x)=ax3-3x2,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′
(1)=3(a-2)=0,得a=2,经检验a=2符合题意,∴f′(x)=6x(x-1).
又f(x)的定义域为R,由f′(x)>
0,得x<
0或x>
1;
由f′(x)<
0,得0<
1,∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞);
单调递减区间为(0,1).
(2)∵函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,
∴f′(x)=3x(ax-2)≥0在(-1,0)上恒成立,即不等式a≥在(-1,0)上恒成立,
∴a≥-2,故实数a的取值范围为[-2,+∞).
20.解
(1)当a=e时,f(x)=ex-ex-e,f′(x)=ex-e.
当x<
1时,f′(x)<
当x>
1时,f′(x)>
所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=1处取得极小值f
(1)=-e,函数f(x)无极大值.
(2)由f(x)=ex-ax-a,得f′(x)=ex-a,
若a<
0,则f′(x)>
0,函数f(x)单调递增,当x趋近于负无穷大时,f(x)趋近于负无穷大;
当x趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大,故函数f(x)存在唯一零点x0,当x<
x0时,f(x)<
x0时,f(x)>
0.故a<
0不满足条件.
若a=0,f(x)=ex≥0恒成立,满足条件;
若a>
0,由f′(x)=0,得x=lna,当x<
lna时,f′(x)<
lna时,f′(x)>
0,所以函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=lna处取得极小值f(lna)=elna-a·
lna-a=-a·
lna,由f(lna)≥0,得-a·
lna≥0,解得0<
a≤1.
综上,满足f(x)≥0恒成立时实数a的取值范围是[0,1]