最新高中数学解题技巧复习教案1集合的概念与运算名师优秀教案Word文档下载推荐.docx
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M={y|y=x2,1,x?
R}={y|y?
1},N={y|y=x,1,x?
R}(
?
M?
N={y|y?
1}?
{y|y?
1},?
应选D(
2,yx,,1,x,1,x,0,,,或得,,,y,2.yx,,1.y,1,,,,点评:
本题求M?
N,经常发生解方程组从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么(事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集(?
集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2,1}、{y|y=x2,1,x?
R}、{(x,y)|y=x2,1,x?
R},这三个集合是不同的(
例2.若P={y|y=x2,x?
R},Q={y|y=x2,1,x?
R},则P?
Q等于()
A(PB(QC(D(不知道
思路启迪:
类似上题知P集合是y=x2(x?
R)的值域集合,同样Q集合是y=x2,1(x?
R)的值域集合,这样P?
Q意义就明确了(
解:
事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2,1的值域,由P={y|y?
0},Q={y|y?
1},知QP,即P?
Q=Q(?
应选B(
例3.若P={y|y=x2,x?
R},Q={(x,y)|y=x2,x?
R},则必有()
A(P?
Q=B(PQC(P=QD(PQ
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x?
R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x?
R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物(
正确解法应为:
P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因
此P?
Q=(?
应选A(
22A,{x|x,1},B,{x|x,2x,3,0}A,B例4若,则=()
用心爱心专心
A({3}B({1}C(D({,1}
AxxxBxxxAB,,,,,,,,?
,,{|1,1}{|1,3},1.,,,思路启迪:
解:
点评:
解此类题应先确定已知集合(
题型2(集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识(
1
aaaaaaaaaa2例5.若A={2,4,3,22,,7},B={1,,1,2,2,2,,(2,3,8),3,2
aa,3,7},且A?
B={2,5},则实数的值是________(
aaaaa解答启迪:
A?
B={2,5},?
3,22,,7=5,由此求得=2或=?
1(A={2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查(aaaa当=1时,2,2,2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去=1(
aa当=,1时,B={1,0,5,2,4},与A?
B={2,5}相矛盾,故又舍去=,1(a当=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A?
B={2,5},满足题设(a故=2为所求(
aaaaaa例6.已知集合A={,,b,,2b},B={,c,c2}(若A=B,则c的值是______(思路启迪:
要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式(
分两种情况进行讨论(
aaaaaaa
(1)若,b=c且,2b=c2,消去b得:
,c2,2c=0,
aa=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故?
0(
c2,2c,1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解(
aaaaaaa)若(2,b=c2且,2b=c,消去b得:
2c2,c,=0,
a2?
0,?
2c2,c,1=0,即(c,1)(2c,1)=0,又c?
1,故c=,(
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正(
aaa例7.已知集合A={x|x2,3x,2=0},B={x|x2,x,,1=0},且A?
B=A,则的值为______(
,BAa思路启迪:
由A?
B=A而推出B有四种可能,进而求出的值(
?
BA,解:
?
A?
B=A,
B=或B={1}或B={2}或B={1,2}(?
A={1,2},?
a,若B=,则令?
<
0得?
;
a若B={1},则令?
=0得=2,此时1是方程的根;
aa,若B={2},则令?
=0得=2,此时2不是方程的根,?
aaaa若B={1,2}则令?
>
R且?
2,把x=1代入方程得?
R,把x=2代入方程得=3(
a综上的值为2或3(
aa点评:
本题不能直接写出B={1,,1},因为,1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况(
题型3(要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视(反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的(因
此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去(
aa例8.设集合A={|=3n,2,n?
Z},集合B={b|b=3k,1,k?
Z},则集合A、B的关系是
________(
aa解:
任设?
A,则=3n,2=3(n,1),1(n?
Z),
AB,a?
n?
Z,?
n,1?
Z.?
B,故(?
又任设b?
B,则b=3k,1=3(k,1),2(k?
Z),
BA,?
k?
k,1?
b?
A,故?
由?
、?
知A=B(
a点评:
这里说明?
B或b?
A的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理(
A,B,B,C例9若A、B、C为三个集合,,则一定有()
A,CC,AA,CA,,A.B.C.D.
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
ABBABCABC,,?
,,ABBC,解:
由知,,故选A.
A,{1,2}AB,,{1,2,3}例10(设集合,则满足的集合B的个数是()
A.1B.3C.4D.8
[考查目的]本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想.
A,{1,2}AB,,{1,2,3}A,{1,2}解:
,,则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合的
224,子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.
xa,,0x,11?
Qxx,1P例11(记关于的不等式的解集为,不等式的解集为(
a,3P(I)若,求;
QP,a(II)若,求正数的取值范围(
QP思路启迪:
先解不等式求得集合和(
x,3,0Pxx,,,,13,,x,1解:
(I)由,得(
Qxxxx,,,1102?
,,,(II)(
Pxxa,,,,1,,QP,a,0a,0由,得,又,所以,
(2),,,a即的取值范围是(
题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集(显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合(当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误(
aa例12.已知A={x|x2,3x,2=0},B={x|x,2=0}且A?
B=A,则实数组成的集合C是________(
由x2,3x,2=0得x=1或2(当x=1时,=2,当x=2时,=1(
这个结果是不完整的,上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B=时,仍满足A?
B=A,
a,当=0时,B=,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}(
2Bxxx,,,540?
Axxa,,|1?
,,,AB,,a例13(已知集合,(若,则实数的取值范围是(
先确定已知集合A和B(
2Bxxxxxx,,,,,5404,1.?
Axxaxaxa,,,,,|111,?
+,,,,,,,,解:
(23),?
,,,,?
,aax14,11.23.a故实数的取值范围是(
,R例14.已知集合A={x|x2,(m,2)x,1=0,x?
R},若A?
=,则实数m的取值范围是_________(
从方程观点看,集合A是关于x的实系数一元二次方程x2,(m,2)x,1=0的解,,R集,而x=0不是方程的解,所以由A?
=可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m的不等式,并解出m的范围(,,R解:
=又方程x2,(m,2)x,1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
2,,,,,,m240,,,,,,,,m20,,,,,或?
=(m,2)2,4<
0(解得m?
0或,4<
m<
0,即m>
4(
,R点评:
此题容易发生的错误是由A?
=只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积
为1,因为方程无零根),而把A=漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言(例15.已知集合A={x|x2,3x,10?
0},集合B={x|p,1?
x?
2p,1}(若BA,则实数p的取值范围是________(
由x2,3x,10?
0得,2?
5(
,,21p,,,,,33.p,215p,,,欲使BA,只须?
p的取值范围是,3?
p?
3(
上述解答忽略了"
空集是任何集合的子集"
这一结论,即B=时,符合题设(
应有:
当B?
时,即p,1?
2p,1p?
2(
由BA得:
2?
p,1且2p,1?
5(由,3?
3(?
2?
3.
?
当B=时,即p,1>
2p,1p,2(
得:
,点评:
从以上解答应看到:
解决有关A?
B=、A?
B=,AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题(
题型5(要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象