最新高中数学解题技巧复习教案1集合的概念与运算名师优秀教案Word文档下载推荐.docx
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M={y|y=x2，1,x?
R}={y|y?
1}，N={y|y=x，1,x?
R}（
?
M?
N={y|y?
1}?
{y|y?
1},?
应选D（
2,yx,，1,x,1,x,0,,,或得,,,y,2.yx,，1.y,1,,,,点评:
本题求M?
N，经常发生解方程组从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么（事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集（?
集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2，1}、{y|y=x2，1,x?
R}、{（x,y）|y=x2，1,x?
R}，这三个集合是不同的（
例2.若P={y|y=x2,x?
R}，Q={y|y=x2，1,x?
R}，则P?
Q等于（）
A（PB（QC（D（不知道
思路启迪:
类似上题知P集合是y=x2（x?
R）的值域集合，同样Q集合是y=x2，1（x?
R）的值域集合，这样P?
Q意义就明确了（
解:
事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2，1的值域，由P={y|y?
0},Q={y|y?
1}，知QP，即P?
Q=Q（?
应选B（
例3.若P={y|y=x2,x?
R}，Q={（x，y）|y=x2,x?
R}，则必有（）
A（P?
Q=B（PQC（P=QD（PQ
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x?
R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x?
R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物（
正确解法应为:
P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因
此P?
Q=（?
应选A（
22A,{x|x,1}，B,{x|x,2x,3,0}A,B例4若，则=（）
用心爱心专心
A（{3}B（{1}C（D（{,1}
AxxxBxxxAB,,,,,,,,？
,,{|1,1}{|1,3},1.，,,思路启迪:
解:
点评:
解此类题应先确定已知集合（
题型2（集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识（
1
aaaaaaaaaa2例5.若A={2，4,3,22,，7},B={1,，1,2,2，2,,（2,3,8）,3，2
aa，3，7}，且A?
B={2，5}，则实数的值是________（
aaaaa解答启迪:
A?
B={2，5}，?
3,22,，7=5,由此求得=2或=?
1（A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查（aaaa当=1时，2,2，2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1（
aa当=,1时，B={1,0,5,2,4}，与A?
B={2，5}相矛盾，故又舍去=,1（a当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A?
B={2，5}，满足题设（a故=2为所求（
aaaaaa例6.已知集合A={,，b,，2b}，B={,c,c2}（若A=B，则c的值是______（思路启迪:
要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式（
分两种情况进行讨论（
aaaaaaa
（1）若，b=c且，2b=c2，消去b得:
，c2,2c=0，
aa=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故?
0（
c2,2c，1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（
aaaaaaa）若（2，b=c2且，2b=c，消去b得:
2c2,c,=0，
a2?
0，?
2c2,c,1=0，即（c,1）（2c，1）=0，又c?
1，故c=,（
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正（
aaa例7.已知集合A={x|x2,3x，2=0},B={x|x2,x，,1=0}，且A?
B=A，则的值为______（
,BAa思路启迪:
由A?
B=A而推出B有四种可能，进而求出的值（
？
BA,解:
?
A?
B=A，
B=或B={1}或B={2}或B={1，2}（?
A={1，2}，?
a,若B=，则令?
<
0得?
;
a若B={1}，则令?
=0得=2，此时1是方程的根;
aa,若B={2}，则令?
=0得=2，此时2不是方程的根，?
aaaa若B={1，2}则令?
>
R且?
2，把x=1代入方程得?
R，把x=2代入方程得=3（
a综上的值为2或3（
aa点评:
本题不能直接写出B={1，,1}，因为,1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况（
题型3（要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视（反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的（因
此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去（
aa例8.设集合A={|=3n，2,n?
Z}，集合B={b|b=3k,1,k?
Z}，则集合A、B的关系是
________（
aa解:
任设?
A，则=3n，2=3（n，1）,1（n?
Z），
AB,a?
n?
Z,?
n，1?
Z.?
B,故（?
又任设b?
B，则b=3k,1=3（k,1），2（k?
Z）,
BA,?
k?
k,1?
b?
A，故?
由?
、?
知A=B（
a点评:
这里说明?
B或b?
A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理（
A,B,B,C例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（）
A,CC,AA,CA,,A.B.C.D.
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
ABBABCABC,,？
,,ABBC,解:
由知，，故选A.
A,{1,2}AB,,{1,2,3}例10（设集合,则满足的集合B的个数是（）
A.1B.3C.4D.8
[考查目的]本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.
A,{1,2}AB,,{1,2,3}A,{1,2}解:
，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的
224,子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.
xa,,0x,11?
Qxx，1P例11（记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（
a,3P（I）若，求;
QP,a（II）若，求正数的取值范围（
QP思路启迪:
先解不等式求得集合和（
x,3,0Pxx,,,,13,,x，1解:
（I）由，得（
Qxxxx,,,1102?
,,,（II）（
Pxxa,,,,1,,QP,a,0a,0由，得，又，所以，
（2），，,a即的取值范围是（
题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合（当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误（
aa例12.已知A={x|x2,3x，2=0},B={x|x,2=0}且A?
B=A，则实数组成的集合C是________（
由x2,3x，2=0得x=1或2（当x=1时，=2，当x=2时，=1（
这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A?
B=A，
a,当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}（
2Bxxx,,，540?
Axxa,,|1?
,,,AB,,a例13（已知集合，（若，则实数的取值范围是（
先确定已知集合A和B（
2Bxxxxxx,,，,,5404,1.?
Axxaxaxa,,,,,|111,?
+,,,,,,,,解:
（23），？
，,,,？
,aax14,11.23.a故实数的取值范围是（
,R例14.已知集合A={x|x2，（m，2）x，1=0,x?
R}，若A?
=，则实数m的取值范围是_________（
从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2，（m，2）x，1=0的解,,R集，而x=0不是方程的解，所以由A?
=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围（,,R解:
=又方程x2，（m，2）x，1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
2,,,，,,m240,,，，,,，,m20,，，,,或?
=（m，2）2,4<
0（解得m?
0或,4<
m<
0，即m>
4（
,R点评:
此题容易发生的错误是由A?
=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积
为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言（例15.已知集合A={x|x2,3x,10?
0}，集合B={x|p，1?
x?
2p,1}（若BA，则实数p的取值范围是________（
由x2,3x,10?
0得,2?
5（
,，21p,,,,,33.p,215p,,,欲使BA，只须?
p的取值范围是,3?
p?
3（
上述解答忽略了"
空集是任何集合的子集"
这一结论，即B=时，符合题设（
应有:
当B?
时，即p，1?
2p,1p?
2（
由BA得:
2?
p，1且2p,1?
5（由,3?
3（?
2?
3.
?
当B=时，即p，1>
2p,1p,2（
得:
,点评:
从以上解答应看到:
解决有关A?
B=、A?
B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题（
题型5（要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象
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