[常用结论与微点提醒]
1.运用公式P（AB）＝P（A）P（B）时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立.
2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
诊断自测
1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）
（1）相互独立事件就是互斥事件.（ ）
（2）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立.（ ）
（3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.（ ）
（4）从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.（ ）
解析 对于
（1），相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故
（1）错；对于
（2），只有当A，B为相互独立事件时，公式P（AB）＝P（A）P（B）才成立；对于（4），取到红球的个数X服从二项分布.
答案
（1）×
（2）× （3）√ （4）×
2.（选修2－3P54练习2改编）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P（A）＝＝，P（AB）＝＝，
故P（B|A）＝＝.
答案 B
3.（2018·烟台调研）设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________.
解析 由题意得取出红球个数X服从二项分布，即X～B，所以P（X＝2）＝C·＝.
答案
4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为.假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.
解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，两人均不去的概率为P（）＝P（）·P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]＝＝，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P（）＝1－＝.
答案
5.已知随机变量X服从正态分布N（0，82），若P（X>2）＝0.023，则P（－2≤X≤2）＝________.
解析 因为μ＝0，所以P（X>2）＝P（X<－2）＝0.023，所以P（－2≤X≤2）＝1－2×0.023＝0.954.
答案 0.954
考点一 条件概率
【例1】
（1）（一题多解）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝（ ）
A.B.C.D.
（2）（2018·河北“五个一”名校联盟二模）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析
（1）法一 P（A）＝＝＝，P（AB）＝＝.由条件概率计算公式，得P（B|A）＝＝＝.
法二 事件A包括的基本事件：
（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）共4个.
事件AB发生的结果只有（2，4）一种情形，即n（AB）＝1.
故由古典概型概率P（B|A）＝＝.
（2）设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）＝，P（AB）＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P（B|A）＝＝＝.故选C.
答案
（1）B
（2）C
规律方法
（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，这是求条件概率的通法.
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝.
【训练1】（2018·桂林调研）某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析 第一次摸出新球记为事件A，则P（A）＝，
第二次取到新球记为事件B，则P（AB）＝＝，
∴P（B|A）＝＝＝.
答案 B
考点二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】（2018·哈尔滨质检）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P（E）＝，P（）＝，P（F）＝，P（）＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立.
（1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，
于是P（）＝P（）P（）＝×＝，
故所求的概率为P（H）＝1－P（）＝1－＝.
（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100，120，220，因为P（X＝0）＝P（）＝×＝，
P（X＝100）＝P（F）＝×＝＝，
P（X＝120）＝P（E）＝×＝，
P（X＝220）＝P（EF）＝×＝＝.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
规律方法
（1）求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.
（2）求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较繁（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【训练2】某次知识竞赛规则如下：
在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
解析 记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P（A）＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
答案 0.128
考点三 独立重复试验与二项分布（易错警示）
【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：
克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515].由此得到样本的频率分布直方图（如下图）.
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
解
（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12（件）.
（2）重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
X服从超几何分布.①
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B，②
P（Y＝k）＝C，
所以P（Y＝0）＝C·＝，
P（Y＝1）＝C··＝，
P（Y＝2）＝C·＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k的三个条件：
（1）在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；
（2）n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；（3）该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
易错警示 1.对于①，超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取，各次抽取不独立，而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取，各次抽取是独立的，故①处不要误作二项分布来处理；对于②，当超几何分布所对应的总体数量很大时，可近似为二项分布来处理，这一点不易想到.
2.这两个分布列的期望是相等的，请思考这是否是巧合呢？
【训练3】（2018·河北“五个一”名校联盟二模）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：
0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.
一环保
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