学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学理试题 Word版有答案Word格式.docx

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甲说：

“我们四人都没考好”；

乙说：

“我们四人中有人考的好”；

丙说：

“乙和丁至少有一人没考好”；

丁说：

“我没考好”.

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中_______两人说对了.（）

A．甲丙B．乙丁C．丙丁D．乙丙

6.用数学归纳法证明过程中：

假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）

A．B．

C．D．

7.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（）

A．B．C．D．

8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种

A．120B．260C．340D．420

9.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它的下一行左右相邻两数的和，如：

，，，…，则第10行第3个数（从左往右数）为（）

10.某省运动队从5名男乒乓球运动员和3名女乒乓球运动员中各选出两名，进行一场男女混合双打表演赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的分组方法有（）

A．60种B．90种C．120种D．180种

11.如图，已知抛物线，圆：

，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为（）

A．34B．37C．42D．51

12.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围是（）

第Ⅱ卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知为虚数单位，复数满足，则．

14.若的二项展开式中的系数为，则．

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为．

16.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：

当有汽车相邻停放时，车头必须同向；

当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有种．（用数学作答）

三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知数列满足：

，且.

（1）求，，的值，并猜想的通项公式；

（2）试用数学归纳法证明上述猜想.

18.如图所示，直三棱柱中，，，点在线段上.

（1）若是中点，证明：

平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

19.已知函数在处的切线方程为.

（1）求实数，的值；

（2）若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.

20.如图所示，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且，为棱上的动点，且.

（1）求证：

；

（2）试确定的值，使得二面角的余弦值为.

21.已知椭圆：

的离心率为，依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，设与面积之比为（其中为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

22.已知函数，.

对，函数与存在相同的增区间；

（2）若对任意的，，都有成立，求正整数的最大值.

2018年重庆一中高2019级高二下学期定时练习

数学答案（理科）

一、选择题

1-5:

CBADD6-10:

CBDCA11、12：

CB

二、填空题

13.14.215.16.528

三、解答题

17.

（1）由递推公式可得，，，可猜想.

（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.

①当时，猜想显然成立；

②假设时猜想成立，即，

则时，由可得

，

即：

当时，猜想也成立，

由①②可知，当时，.

18.

（1）连接交于，连接，为中点，为中点，则.

又平面，而平面，故平面.

（2）分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

设平面法向量为，，，

则，令，则，

设直线与平面所成角为，则.

19.

（1），

∵在处的切线方程为，∴，，

∴，∴，即：

.

（2），

则，令，则（舍）或，

∵在上有最值，

∴，∴，即的取值范围为.

20.

（1）取的中点，连结，，，由题意可得，均为正三角形，

所以，，

又，

所以平面，

又平面，

所以.

因为，

（2）由

（1）可知，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

故可得，，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

由，可得点的坐标为，

设平面的一个法向量为，

由，可得，

令，则，

又平面的一个法向量为，

由题意得，，

解得或（舍去），

所以当时，二面角的余弦值为.

21.

（1）∵椭圆的离心率为，且依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，

∴，∴，即椭圆方程为.

（2）由题意得设直线方程为，其中，代入椭圆方程得：

则有，从而有，①

，②

由①②可得，

由得.又，因，

故，又，

从而有，得，解得或.

22.

（1），所以在为增函数，在为减函数，

由，

当时，恒成立，则在上单调递增，所以命题成立，

当时，在为减函数，在为增函数，

设得，令得，

在为减函数，在为增函数，且，所以，

同理，所以，所以与存在相同的增区间.

综上：

命题成立.

（2）证明：

对任意的，，都有，

则，

则，所以，

则，由

（1）可知，所以有：

恒成立.

设，则，且，

由，，

所以在上有唯一实数根，且，

当时为减函数，当时为增函数，

所以，，，所以，

且是正整数，所以，所以的最大值为4.