学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学理试题 Word版有答案Word格式.docx
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甲说:
“我们四人都没考好”;
乙说:
“我们四人中有人考的好”;
丙说:
“乙和丁至少有一人没考好”;
丁说:
“我没考好”.
结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中_______两人说对了.()
A.甲丙B.乙丁C.丙丁D.乙丙
6.用数学归纳法证明过程中:
假设时,不等式成立,则需证当时,也成立,则()
A.B.
C.D.
7.如图所示,椭圆中心在坐标原点,为左焦点,当,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆,可推算出黄金双曲线的离心率等于()
A.B.C.D.
8.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有()种
A.120B.260C.340D.420
9.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成,第行有个数且两端的数均为,每个数是它的下一行左右相邻两数的和,如:
,,,…,则第10行第3个数(从左往右数)为()
10.某省运动队从5名男乒乓球运动员和3名女乒乓球运动员中各选出两名,进行一场男女混合双打表演赛,对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员,则不同的分组方法有()
A.60种B.90种C.120种D.180种
11.如图,已知抛物线,圆:
,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,,,,则的最小值为()
A.34B.37C.42D.51
12.已知,,若存在,,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”,则实数的取值范围是()
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知为虚数单位,复数满足,则.
14.若的二项展开式中的系数为,则.
15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为.
16.校园某处并排连续有6个停车位,现有3辆汽车需要停放,为了方便司机上下车,规定:
当有汽车相邻停放时,车头必须同向;
当车没有相邻时,车头朝向不限,则不同的停车方法共有种.(用数学作答)
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知数列满足:
,且.
(1)求,,的值,并猜想的通项公式;
(2)试用数学归纳法证明上述猜想.
18.如图所示,直三棱柱中,,,点在线段上.
(1)若是中点,证明:
平面;
(2)当时,求直线与平面所成角的正弦值.
19.已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数,的值;
(2)若函数在区间上有最值,求实数的取值范围.
20.如图所示,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且平面平面,底面是菱形,且,为棱上的动点,且.
(1)求证:
;
(2)试确定的值,使得二面角的余弦值为.
21.已知椭圆:
的离心率为,依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于,两点,设与面积之比为(其中为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
22.已知函数,.
对,函数与存在相同的增区间;
(2)若对任意的,,都有成立,求正整数的最大值.
2018年重庆一中高2019级高二下学期定时练习
数学答案(理科)
一、选择题
1-5:
CBADD6-10:
CBDCA11、12:
CB
二、填空题
13.14.215.16.528
三、解答题
17.
(1)由递推公式可得,,,可猜想.
(2)下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当时,猜想显然成立;
②假设时猜想成立,即,
则时,由可得
,
即:
当时,猜想也成立,
由①②可知,当时,.
18.
(1)连接交于,连接,为中点,为中点,则.
又平面,而平面,故平面.
(2)分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
设平面法向量为,,,
则,令,则,
设直线与平面所成角为,则.
19.
(1),
∵在处的切线方程为,∴,,
∴,∴,即:
.
(2),
则,令,则(舍)或,
∵在上有最值,
∴,∴,即的取值范围为.
20.
(1)取的中点,连结,,,由题意可得,均为正三角形,
所以,,
又,
所以平面,
又平面,
所以.
因为,
(2)由
(1)可知,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
故可得,,两两垂直,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,
由,可得点的坐标为,
设平面的一个法向量为,
由,可得,
令,则,
又平面的一个法向量为,
由题意得,,
解得或(舍去),
所以当时,二面角的余弦值为.
21.
(1)∵椭圆的离心率为,且依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4,
∴,∴,即椭圆方程为.
(2)由题意得设直线方程为,其中,代入椭圆方程得:
则有,从而有,①
,②
由①②可得,
由得.又,因,
故,又,
从而有,得,解得或.
22.
(1),所以在为增函数,在为减函数,
由,
当时,恒成立,则在上单调递增,所以命题成立,
当时,在为减函数,在为增函数,
设得,令得,
在为减函数,在为增函数,且,所以,
同理,所以,所以与存在相同的增区间.
综上:
命题成立.
(2)证明:
对任意的,,都有,
则,
则,所以,
则,由
(1)可知,所以有:
恒成立.
设,则,且,
由,,
所以在上有唯一实数根,且,
当时为减函数,当时为增函数,
所以,,,所以,
且是正整数,所以,所以的最大值为4.