全国各地高考数学试题之浙江卷试题及参考答案.docx
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全国各地高考数学试题之浙江卷试题及参考答案
2019年6月7日全国高考数学试题(浙江卷)
参考公式:
若事件A,B互斥,则
若事件A,B相互独立,则
若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积,表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积,表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.已知全集,集合,,则=()
A.B.
C.D.
2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()
A.B.1
C.D.2
3.若实数x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值是()
A.B.1
C.10D.12
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,
利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱
体的三视图如图所示,则该柱体的体积是()
A.158B.162
C.182D.32
5.若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+),(a>0且a≠0)的图像可能是()
7.设0<a<1,则随机变量X的分布列是
则当a在(0,1)内增大时()
A.D(X)增大B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大
8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记
直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P-AC-B的平面角
为γ,则()
A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ
C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β
9.已知,函数,若函数恰
有三个零点,则()
A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0
C.a>-1,b>0D.a>-1,b<0
10.设a,b∈R,数列{an}中an=a,an+1=an2+b,,则()
A.当b=,a10>10B.当b=,a10>10
C.当b=-2,a10>10D.当b=-4,a10>10
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.复数(为虚数单位),则=___________.
12.已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点
,则=_____,=______.
13.在二项式的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是
_______.
14.在中,,,,点在线段上,若,
则____,________.
15.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中
点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_______.
16.已知,函数,若存在,使得,则实数
的最大值是____.
17.已知正方形的边长为1,当每个取遍时,
的最小值是________,最大值是_______.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本小题满分14分)设函数.
(1)已知函数是偶函数,求的值;
(2)求函数的值域.
19.(本小题满分15分)如图,已知三棱柱,平面平面,
,分别是AC,A1B1的中点.
(1)证明:
;
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
20.(本小题满分15分)设等差数列的前n项和为,,,数列满
足:
对每个成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记证明:
21.(本小题满分15分)如图,已知点为抛物线,点为焦点,过
点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得的重心G在x轴上,直
线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记的面积为.
(1)求p的值及抛物线的标准方程;
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
22.(本小题满分15分)
已知实数,设函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)对任意均有求的取值范围.
注:
e=2.71828…为自然对数的底数.
【参考答案】
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分,满分40分。
1.A2.C3.C4.B5.A
6.D7.D8.B9.C10.A
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算。
多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.12.13.14.
15.16.17.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分。
18.解:
(I)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(Ⅱ)
.
因此,函数的值域是.
19.解:
方法一:
(I)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,
平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
(Ⅱ)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.
由于A1E⊥平面ABC,故AE1⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.
由(I)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).
不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2,EG=.
由于O为A1G的中点,故,
所以.
因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
方法二:
连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,
平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC.
如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4,则
A1(0,0,2),B(,1,0),,,C(0,2,0).
因此,,.
由得.
20.解:
(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意得
,
解得.
从而.
由成等比数列得
.
解得.
所以.
(Ⅱ).
我们用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
(2)假设时不等式成立,即.
那么,当时,
.
即当时不等式也成立.
根据
(1)和
(2),不等式对任意成立.
21.解:
(I)由题意得,即p=2.
所以,抛物线的准线方程为x=−1.
(Ⅱ)设,重心.令,则.
由于直线AB过F,故直线AB方程为,代入,得
,
故,即,所以.
又由于及重心G在x轴上,故,得.
所以,直线AC方程为,得.
由于Q在焦点F的右侧,故.从而
.
令,则m>0,
.
当时,取得最小值,此时G(2,0).
22.解:
(Ⅰ)当时,.
,
所以,函数的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+).
(Ⅱ)由,得.
当时,等价于.
令,则.
设,则
.
(i)当时,,则
.
记,则
.
故
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以,.
因此,.
(ii)当时,.
令,则,
故在上单调递增,所以.
由(i)得.
所以,.
因此.
由(i)(ii)得对任意,,
即对任意,均有.
综上所述,所求a的取值范围是.