概率论基本公式71394Word文档下载推荐.docx

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1,p+q=1）

相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理：

（k=0,1,2……）

事件A首次发生概率为：

设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

第二章

7、常用离散型分布

（1）两点分布：

若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：

（0<

1）则称X服从处参数为p的两点分布。

其中期望E（X）=p,D（X）=p（1-p）

（2）二项分布：

若一个随机变量X的概率分布由（k=0,1,2……）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：

X~b（n,p）（或B（n，p）

其中，当n=1时为0—1分布。

其期望E（X）=np，方差D（X）=np（1-p）

（3）泊松分布：

若一个随机变量X概率分布为：

则称X服从参数为的泊松分布，记为：

其中.

泊松定理：

在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为,如果时，，则对任意给定的k，

有，这表明，当n很大时，p接近0或1时，有（）。

N≥20，p≤0.05时用泊松分布。

其期望方差相等，即：

E（X）=D（X）=。

8、常用连续型分布

（1）均匀分布：

若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

其中，分布函数为：

其期望E（X）=，方差D（X）=。

（2）指数分布：

若随机变量的概率为，则称X服从参数为的指数分布，简记为X~e（）.其分布函数：

其期望E（X）=,方差D（X）=.

（3）正态分布：

若随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为μ和的正态分布，记为X~N（μ,）,其中μ和（>

0）都是常数。

分布函数为：

。

当称为标准正态分布，概率密度函数为：

定理：

设

其期望E（X）=μ,D（X）=。

9、随机变量函数的分布

（1）离散型随机变量函数分布一般方法：

先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值（i=1,2,……）来确定Y的概率分布。

（2）连续型随机变量函数分布方法：

设已知X的分布函数或者概率密度，则随机变量Y=g（X）的分布函数,其中，，进而可通过Y的分布函数，求出Y的密度函数。

设随机变量X的密度函数为，求随机变量

10、设随机变量X~N（,Y=也服从正态分布.即。

11、联合概率分布

（1）离散型联合分布：

XY

……

P{X=}

p

P{Y=

1

（2）连续型随机变量函数的分布：

设随机变量（X，Y）的密度函数

求，，D（X+Y）.

解：

①当0≤x≤2时由，得：

，当x<

0或x>

2时，由，所以，

同理可求得:

；

②E（X）=,由对称性同理可求得，E（Y）=7/6。

③因为E（XY）=

所以，cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=4/3-（7/6）=-1/36。

④

同理得D（Y）=,所以，=

⑤D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2cov（X,Y）=

12、条件分布：

若

13、随机变量的独立性：

由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>

0,则：

，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：

，即：

，则称X和Y独立。

14、连续型随机变量的条件密度函数：

设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为,边缘概率密度函数为，则对于一切使>

0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：

，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：

，若=几乎处处成立，则称X,Y相互独立。

设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：

，求

（1）确定常数c；

（2）X,Y的边缘概率密度函数；

（3）联合分布函数F（x,y）;

（4）P{Y≤X};

（5）条件概率密度函数；

（6）P{X<

2|Y<

1}

15、数学期望：

（1）离散型：

（2）连续型：

，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。

数学期望的性质：

①E（CX）=CE（X）①③设X,Y独立，则E（XY）=E（X）E（Y）.

10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E（X）（设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立）

附：

二项分布b（n,p）和两点分布b（1,p）的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：

且P（A）=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则，若记

其中：

16、方差：

（1）

（2）方差性质：

①D（CX）=CD（X）;

②若X.Y相互独立，则：

17、协方差：

（1）cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,特别，X,Y独立时，有：

cov（X,Y）=0.

（2）协方差性质：

①cov（X,X）=D（X）;

②cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;

③cov（C,Y）=0;

④cov（,Y）=⑤随机变量和的方差与协方差的关系.

（3）相关系数,性质：

①;

②若X和Y相互独立，则=0，即X和Y不相关。

③若D（X）>

0，D（Y）>

0，则当且仅当存在常数a，b（），使：

附注：

④设e=E[Y-（,称为用来近似Y的均方差，则：

设D（X）>

0,有：

使均方误差达到最小。

18、切比雪夫不等式：

设随机变量X的期望E（X）=μ,方差D（X）=,则对于给定任意正数，有：

19、大数定理：

设随机变量X,X,……X……相互独立，且具有相同的期望和方差：

，i=1,2,3……，，则对于任意>

20、中心极限定理；

（1）设随机变量X,X,……X……相互独立，服从同一分布，且，i=1,2,3……，则：

（2）棣莫佛—拉普拉斯定理：

设随机变量X,X,……X……相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：

第二部分数理统计

24、点估计常用方法

（1）矩估计法：

先求E（X）,得到一个E（X）与未知参数的式子，用E（X）表示未知参数，再把E（X）用代替即可。

已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。

（2）最大似然估计：

一般方法：

a、写出最大似然函数L（;

或c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。

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