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●2-范数（也称为欧氏范数）：

；

●1-范数：

●-范数：

。

图3.1.2.三种向量范数对应的“单位圆”图3.1.3.“单位圆”集合的艺术形式

下一节将谈到：

就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。

我们注意到：

通常将或中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。

由此可知：

如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；

反之则不然。

因此，长度是比距离更本质的概念。

3.1.2.范数的定义

我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。

定义3.1.1.设是数域上的线性空间，是定义在上、取值为实数的函数。

如果下列条件满足：

（1）正定性：

对于任意，都有，并且等号成立当且仅当；

（2）正齐性：

对于任意，，都有；

（3）三角不等式：

则称是上的范数（norm）。

称赋予了范数的线性空间为赋范线性空间（normedlinearspace），或者简称为赋范空间（normedspace）。

图3.1.1.三角不等式示意图

3.1.3.常用的范数

下面列出常用的赋范空间。

例3.1.1：

设是数域上的紧度量空间，用表示定义在上、在中取值的全体连续映射的集合。

可以在上定义如下范数：

对于，

例3.1.2：

对于，可以在上定义如下范数：

对于，

例3.1.3：

注释：

函数的1-范数、2-范数、-范数分别是向量的1-范数、2-范数、-范数的自然推广。

（为什么？

）

例3.1.4：

例3.1.5：

上述五种范数是泛函分析中最重要的范数，我们将其称为标准范数。

例3.1.6：

设是赋范线性空间，是的线性子空间，是范数在上的限制，则是上的范数。

上述例子表明：

可以从较大的赋范线性空间出发，“从大到小”地构造许许多多较小的赋范线性空间。

例3.1.7：

设和是同一个数域上的赋范线性空间，则在笛卡尔积上可以定义如下范数：

对于任意，

，

则是上的范数。

上述例子表明：

可以从较小的赋范线性空间出发，“从小到大”地构造无穷无尽的赋范线性空间。

范数就像灵魂一样重要：

有范数的元素就有了精气神；

反之，没有范数的元素就像是孤魂野鬼，完全没有实在感。

3.2.范数的基本性质

赋范线性空间具有许多独特的性质，这些性质在研究其分析性质时特别有用。

3.2.1.范数诱导度量

一方面，赋范空间是线性空间。

另一方面，下列定理告诉我们：

赋范空间还是度量空间。

因此，赋范空间是线性空间与度量空间的合体，是为求解算子方程而生的。

定理3.2.1.设是赋范空间，定义映射如下：

则是度量空间。

以下称该度量为范数诱导度量，称相应的度量空间为诱导度量空间。

下面列出常用的范数诱导度量。

例3.2.1：

可以用维向量空间上的2-范数诱导上的如下度量：

例3.2.2：

可以用例3.1.1中定义的范数诱导上的如下度量：

对于任意，

例3.2.3：

对于，可以用上的范数诱导上的如下度量：

例3.2.4：

上述度量都是第二章最后一节介绍的标准度量，由此可见：

范数与度量是紧密联系在一起的。

3.2.2.极限运算律

赋范空间满足下列极限运算交换律。

定理3.2.2：

设是数域上的赋范空间，则下列性质成立：

（1）极限运算-代数运算交换律：

设和是中的收敛序列，，则

（2）极限运算-范数运算交换律：

设是中的收敛序列，则

赋范空间的上述性质使极限运算变得十分便捷。

3.2.3.范数的等价性

我们知道，在同一个线性空间上可以赋予各种不同的范数。

于是，就自然产生了如下问题：

赋范空间的分析性质是否会随着范数的改变而改变？

为了回答上述问题，我们希望将某个线性空间上的所有可能的范数划分为若干类，使得（a）来自同一类中的两个范数对应的赋范空间的分析性质完全相同，（b）来自不同类中的两个范数对应的赋范空间的分析性质不完全相同。

为了实现这个目的，数学家给出了如下定义。

定义3.2.1.设和是线性空间上的两个范数。

如果存在正数和，使得所有均满足

则称与等价。

这个等价关系是标准的等价关系，即是同时满足自反性、对称性和传递性。

按照这个等价关系，就可以将同一个线性空间上的所有范数分为若干等价类。

下列定理表明：

属于同一等价类的两个范数对应的赋范空间的确具有完全相同的分析性质。

定理3.2.3.设和是线性空间上的两个等价范数。

和分别表示由和诱导的度量。

（1）设是中的序列，则。

（2）设是关于的Cauchy列是关于的Cauchy列。

（3）完备完备。

3.2.4.扩张子空间

为了求得线性算子方程的通解，我们希望从它的一组解出发，通过代数运算和极限运算产生它的全部解。

为此，现引入如下定义。

定义3.2.2.设是赋范空间，是的非空子集，则的扩张集定义为由的全体有限线性组合组成的集合的闭包，即是

由此可见，是由中元素通过代数运算和极限运算能够产生的最大集合。

扩张集有下列重要性质。

定理3.2.4.是的包含的、最小的闭线性子空间。

3.2.5.Riesz引理

Riesz引理是由匈牙利数学家Riesz（1880-1956）发现的，对揭示无限维赋范线性空间与有限维线性空间的本质区别具有重要作用。

Riesz引理：

设是赋范空间，是的闭线性真子空间，。

则存在，使得

（1），

（2）对于所有的，都有。

图3.1.3.匈牙利数学家Riesz

3.3.有限维赋范空间

有限维线性空间是最简单的线性空间。

实际上，根据定理2.1.2，有限维线性空间的代数结构已经完全清楚了。

这一节的目的是研究有限维赋范空间的分析结构。

可以将有限维线性空间视为度量空间，理由如下：

设是维线性空间，是的基，则可以定义上的如下范数：

对于中任意元素，令

这样定义的范数值将会随着基的改变而改变。

然而，我们有如下惊人的结论：

定理3.3.1.同一个有限维线性空间上的所有范数均等价。

综合定理3.2.3和3.3.1可知：

有限维赋范线性空间的分析性质是完全确定的，不依赖于范数的选择。

因此在处理实际问题时，可以根据需要选择合适的范数。

对于有限维线性空间，我们还有如下进一步的结论：

定理3.3.2.有限维赋范空间是完备的，即是说其诱导度量空间是完备的。

综上所述，数域上的维线性空间与不仅具有相同的代数结构，而且具有相同的分析性质。

实际上，矩阵论的一部分内容，就是研究的分析性质。

最后，我们还有

定理3.3.3.赋范空间的有限维子空间是闭集。

综上所述，有限维赋范空间的代数结构和分析结构都是十分简单的，是完全被人类所掌握。

3.4.无限维赋范空间

3.4.1.无限维的烦恼

众所周知，“无限”比“有限”要复杂得多。

因此自然可以想象：

无限维赋范空间将失去有限维赋范空间的许多优美性质。

实际上，我们有与定理3.3.1至定理3.3.3完全对立的下列结论。

定理3.4.1.同一个无限维线性空间上的某些范数不等价。

定理3.4.2.无限维赋范空间不一定是完备的。

定理3.4.3.赋范空间的无限维子空间不一定是闭集。

甚至对于无限维赋范空间而言，形如、之类的集合都不再是闭集，这极大地妨碍了极限运算的实施。

看来，最一般的无限维赋范空间已经超出了人类的认知能力。

3.4.2.Banach空间

由于泛函分析的主要目的是求解算子方程，因此研究重点是完备的赋范空间。

为了纪念波兰数学家Banach在泛函分析领域的卓越贡献，后人就将这类空间称为Banach空间。

定义3.4.1.完备的赋范空间称为Banach空间。

图3.4.1.泛函分析之父，波兰数学家Banach

下面的实例充分表明：

常用的赋范空间都具有完备性，都是Banach空间。

例3.4.1.有限维赋范空间是Banach空间。

例3.4.2.设是紧度量空间，则是Banach空间。

例3.4.3.设，则是Banach空间。

例3.4.4.设，则是Banach空间。

例3.4.5.设是Banach空间，是的线性子空间，则是Banach空间是闭集。

前面提到，为了求解一般的线性算子方程，需要研究函数空间中函数项级数的收敛性。

在Banach空间上，就有如下很实用的级数收敛判别法。

定理3.4.4.设是Banach空间上的级数。

如果正项级数收敛，则亦收敛。