初二四边形复习教案【重点】.doc
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第四章四边形综合复习
一、知识要点回顾：
1.知识归纳：
2.在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是。
3.平行四边形的性质：
与边有关的_________________________。
与角有关_____，
对角线________________________。
4.矩形
（1）矩形具有平形四边形的所有性质,还具有自己的性质:
①矩形的每个角都是;②矩形的对角线且.
5.菱形
菱形具有平行四边形的一切性质,还具有自己的性质:
（1）菱形的四条边都;
（2）菱形的对角线
6.正方形
正方形具有矩形和菱形的一切性质.
注意：
对角线与特殊四边形的关系
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
四、例题解析
例1：
如图，在的纸片中，AC⊥AB，AC与BD交于O，将△ABC沿对角线AC翻折得到.
（1）求证：
以A、C、D、为顶点的四边形是矩形；
（2）若，求翻折后纸片重叠部分的面积，即.
意图：
1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用；
2、实现一题多解，有选择的运用矩形的判定定理，评析证明方法的优劣。
3、等积变换，以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。
例2：
我们给出如下定义：
若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.
意图：
如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移
例3：
如图，已知中，平分，交于，于，交于，且。
（1）试说明；
（2）试问与之间有何数量关系？
写出你的结论，并说明理由。
解法1：
（见图1）
延长到，使得，连结，实现将转化为线段；
解法2：
（见图2）
延长到，使得，连结，实现将转化为线段；
解法3：
（见图3）
延长到，使得，将绕点顺时针旋转，得到，实现将转化为线段；
图1图2图3
解法4：
（见图4）如图建立平面直角坐标系，设，
则，，，，，，
可证得，则，
可求得，即
则
解法5：
见图5：
如图建立直角坐标系，解法同解法4
图4图5
将此题还原对比：
在中，平分交于点，证明：
还原图例题图
意图：
1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和，运用了平移、旋转变换构造；
2、解法4、5均强调将几何问题代数化，初步渗透高中解析几何的思想。
体会
（1）建立平面直角坐标系的可能。
即存在直角。
或有特殊的基本图形存在，如等腰直角三角形、正方形；
（2）坐标原点和轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。
3、关注题目中的重要条件，抓注基本特征，将图形有效还原。
例4：
如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：
正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD，那么EF⊥AE.又将正方形改为矩形、菱形和任意平行四边形（如图②、图③、图④），其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论.你同意小明的观点吗？
若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由.
例5：
请阅读下列材料：
问题：
如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：
延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在
（1）中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明．
对于例4、例5
意图：
1、培养良好的审题习惯；
2、注意中点的作用；
3、注意在动中求静；
4、性质的熟练应用
例6、1、已知：
中，是边的中点，平分，于点。
若，。
求
2、点为函数的图象上的点，点的坐标分别为，
。
试用性质：
函数的图象上任一点都满足
，求解下面问题：
做的平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知点A在函数的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则此曲线为（）
A、直线B、抛物线C、圆D、反比例函数曲线
意图：
比较两题，2题比1题从字数上就多很多，但若认真审题会发现题干中有相同的条件，蕴涵着相同的基本图形。
例7、已知：
分别以的各边为边，在边的同侧作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结。
（1）试说明四边形为平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形为菱形、矩形、正方形；
（3）四边形一定存在吗？
试说明理由。
意图：
1、关注旋转全等形；
2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度；
3、逆向
巩固练习：
Ex1：
在正方形中，为中点，点在上，且，
连接，试问与的位置关系如何？
并说明理由。
（此题至少3种做法，其中倍长和建系做法尤佳）
Ex2:
正方形ABCD边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,
则DM+MN的最小值为
（注意正方形的对称性）
Ex3:
我们知道：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若，∠DCB=∠EBC=，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且
∠DCB=∠EBC=.探究：
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.（针对例4、例5）
EX4:
如图，中，过点分别作的外角平分线的垂线,为垂足。
求证：
（1）;
（2）;
（3）若过分别作的平分线的垂线，垂足分别为。
结论有无变化？
请加以说明。
（针对例6）
EX5：
中，，都是等边三角形。
求四边形的面积。
（针对例7）
五、动点问题
1.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
2.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
A
Q
C
D
B
P
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
（备用图）
3.如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；
②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
参考答案
1.分析：
（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
-9-
解：
（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论
（1），再利用结论
（1）和矩形的判定证明结论
（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
2.解：
（1）①∵秒，∴厘米，
∵厘米，点为的中点，∴厘米．
又∵厘米，∴厘米，∴．
又∵，∴，∴．
②∵，∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．
∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇。
3.解
（1）①30，1；②60，1.5；
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