导数与单调性极值最基础值习题Word文档格式.docx

导数与单调性极值最基础值习题Word文档格式.docx

《导数与单调性极值最基础值习题Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数与单调性极值最基础值习题Word文档格式.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

A．9B．﹣9C．1D．﹣1

4．函数的最大值为（　　）

A．B．e2C．eD．e﹣1

5．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（　　）

A．﹣4B．﹣2C．4D．2

6．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）

A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1

7．设函数f（x）=xex，则（　　）

A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点

C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点

8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，3）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）

9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f

（2）等于（　　）

A．11或18B．11C．18D．17或18

10．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（　　）

A．f（x）的极大值为，极小值为

B．f（x）的极大值为，极小值为

C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）

D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）

11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（　　）

A．﹣a＜a＜2B．a＞2或a＜﹣1C．a≥2或a≤﹣1D．a＞1或a＜﹣2

12．函数y=xe﹣x，x∈[0，4]的最小值为（　　）

A．0B．C．D．

13．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（　　）

A．5，﹣15B．5，﹣4C．﹣4，﹣15D．5，﹣16

14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（　　）

A．﹣37B．﹣29C．﹣5D．以上都不对

二．填空题（共10小题）

15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为　　．

16．已知f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，则a+b=　　．

17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=　　．

18．已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是　　．

19．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是　　．

20．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　　．

21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是　　．

22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=　　．

23．设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为　　．

24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=　　．

三．解答题（共10小题）

25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．

（1）求f（x）的表达式；

（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

26．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x，g（x）=xlnx．

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）﹣2g（）＜（b﹣a）ln2．

27．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．

28．已知函数f（x）=xlnx．

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．

29．已知函数f（x）=（x﹣2）ex．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．

30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈[﹣1，2]）的最大值为3，最小值为﹣29，求a、b的值．

31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．

32．已知函数f（x）=lnx﹣．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）证明；

当x＞1时，f（x）＜x﹣1；

（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．

33．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．

（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

34．已知函数f（x）满足f（x）=f′

（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若，求（a+1）b的最大值．

参考答案与试题解析

【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）=0外，还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．

【解答】解：

如y=x3，y′=3x2，y′|x=0=0，但x=0不是函数的极值点．

若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）=0，所以f′（x0）=0是x0为函数y=f（x）的极值点的必要不充分条件

故选：

D．

【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：

函数在x0处取得极值⇔f′（x0）=0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0

【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．

∵y=1+3x﹣x3，

∴y′=3﹣3x2，

由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1，

由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，

∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是（﹣1，1），减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．

∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1，

函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f

（1）=1+3﹣13=3．

A．

【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用

【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点，说明它的导函数有两个不相等的零点，转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得x1•x2=﹣1

由f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9得，

f′（x）=3x2+2ax﹣3

f′（x）=0的两根为x1，x2就是函数的两个极值点

根据韦达定理，得

【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点．

【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；

∵函数，（x＞0）

∴y′=，令y′=0，得x=e，

当x＞e时，y′＜0，f（x）为减函数，

当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，

∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，

∴y最大值为f（e）==e﹣1，

【点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件，利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；

【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．

f′（x）=3x2﹣12；

∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；

∴x=2是f（x）的极小值点；

又a为f（x）的极小值点；

∴a=2．

【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．

【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．

求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），

令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；

令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；

∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，

∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．

∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，

∴极大值等于0或极小值等于0．

∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，

∴c=﹣2或2．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．

【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点

由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，

令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1

令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数

令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数

所以x=﹣1为f（x）的极小值点

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，

A．（0，3）B．（0，）C．（0，+∞）D．