届高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案文档格式.docx

届高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案文档格式.docx

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（4）六组诱导公式中的角α可以是任意角．（　　）

（5）若cos（nπ－θ）＝（n∈Z），则cosθ＝.（　　）

答案　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√　（5）×

2．[2018·

商丘模拟]sin（－600°

）的值为（　　）

A.B.

C．1D.

答案　A

解析　sin（－600°

）＝sin（－720°

＋120°

）＝sin120°

＝.

3．已知cos＝，且α∈，则tanα＝（　　）

C．－D．±

答案　B

解析　∵sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝.选B.

4．若sin（π＋α）＝－，则sin（7π－α）＝________，cos＝________.

答案　　

解析　由sin（π＋α）＝－，得sinα＝，

则sin（7π－α）＝sin（π－α）＝sinα＝，

cos＝cos＝cos

＝cos＝sinα＝.

5．[课本改编]若α是第二象限角，且tanα＝－2，则cosα＝________.

答案　－

解析　由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα，代入平方关系得5cos2α＝1，因为cosα<

0，所以cosα＝－.

6．[2018·

桂林模拟]若sin＝，则cos＝________.

解析　cos＝cos＝sin＝－sin＝－.

板块二　典例探究·

考向突破

考向　同角三角函数基本关系式的应用

例　1　[2018·

杭州模拟]已知－<

x<

0，sinx＋cosx＝.

（1）求sinx－cosx的值；

（2）求的值．

解　

（1）解法一：

联立方程

由①得sinx＝－cosx，将其代入②，

整理得25cos2x－5cosx－12＝0.

∵－<

0，∴

∴sinx－cosx＝－.

解法二：

∵sinx＋cosx＝，

∴（sinx＋cosx）2＝2，即1＋2sinxcosx＝，

∴2sinxcosx＝－.

∵（sinx－cosx）2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝.①

又∵－<

0，∴sinx<

0，cosx>

0，

∴sinx－cosx<

0.②

由①②可知sinx－cosx＝－.

（2）解法一：

由已知条件及

（1）可知

解得∴tanx＝－.

又∵＝＝＝，

∴＝.

＝＝＝.

　在本例条件下，求的值．

解　＝＝＝.

　在本例条件下，求sin2x＋sinxcosx的值．

解　sin2x＋sinxcosx＝＝＝＝－.

触类旁通

同角三角函数基本关系式及变形公式的应用

（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．

（2）应用公式时注意方程思想的应用：

对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±

2sinαcosα，可以知一求二．

（3）注意公式逆用及变形应用：

1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

（4）关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．

【变式训练】　

（1）已知2tanα·

sinα＝3，－＜α＜0，则sinα＝（　　）

A.B．－

C.D．－

解析　因为2tanα·

sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2（舍去），又－＜α＜0，所以sinα＝－.

（2）已知α是三角形的内角，且tanα＝－，求sinα＋cosα的值．

解　由tanα＝－，得sinα＝－cosα，

将其代入sin2α＋cos2α＝1，

得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，

∴cosα＝－，sinα＝，

故sinα＋cosα＝－.

考向　利用诱导公式化简求值

命题角度1　利用诱导公式化简求值

例　2　已知

f（α）＝，

求f的值．

解　f（α）＝

＝－tanα，则f＝－tan＝tan＝1.

命题角度2　同角关系和诱导公式的综合应用

例　3　[2016·

全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－.

利用诱导公式化简求值的思路

（1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．

（2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．

核心规律

1.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：

（1）弦切互化法；

（2）和积转换法；

（3）巧用“1”的变换．

2.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：

去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．

满分策略

1.同角三角函数的基本关系及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．

2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

板块三　启智培优·

破译高考

易错警示系列5——忽视“角范围”的信息提取致误

[2018·

石家庄模拟]设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.

错因分析　

（1）不能提炼隐含信息tan＞0.

（2）利用同角三角函数平方关系，开方运算时忽视三角函数符号的判定．

解析　由tan＝，得cos＝2sin，代入sin2＋cos2＝1，

得sin2＝.

∵θ为第二象限角．

∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π，k∈Z.

又tan＝＞0，

∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π（k∈Z），

故sin＝－.

因此sinθ＋cosθ＝sin＝－.

答题启示　1.由tan＝挖掘tan＞0，结合θ为第二象限角，进一步确定角θ＋的范围．

2．开方运算时，应先根据角θ的范围或象限角判定三角函数值的符号．

跟踪训练

已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为（　　）

A．－B.

C．－D.

解析　∵＜α＜，

∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0.

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×

＝，

∴cosα－sinα＝.

板块四　模拟演练·

提能增分

[A级　基础达标]

1．[2018·

洛阳模拟]下列各数中与sin2019°

的值最接近的是（　　）

C．－D．－

答案　C

解析　2019°

＝5×

360°

＋180°

＋39°

，

∴sin2019°

＝－sin39°

和－sin30°

接近．选C.

2．已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|＜，则θ等于（　　）

A．－B．－

C.D.

答案　D

解析　∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.

3．[2018·

华师附中月考]已知tan（α－π）＝，且α∈，则sin＝（　　）

解析　tan（α－π）＝⇒tanα＝.

又因为α∈，所以α为第三象限的角，

所以sin＝cosα＝－.

4．已知f（α）＝，则f的值为（　　）

解析　∵f（α）＝＝－cosα，

∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.

5．已知sin＝，则cos的值为（　　）

解析　cos＝cos＝－sin＝－.选B.

6．已知tanx＝2，则sin2x＋1的值为（　　）

A．0B.

解析　sin2x＋1＝＝＝.故选B.

7．[2018·

福建泉州模拟]已知＝－，则的值是（　　）

C．2D．－2

解析　因为1－sin2α＝cos2α，cosα≠0,1－sinα≠0，所以（1＋sinα）（1－sinα）＝cosαcosα，所以＝，所以＝－，即＝.故选A.

8．已知角α的终边上一点P（3a,4a）（a<

0），则cos的值是________．

答案　

解析　cos（540°

－α）＝cos（180°

－α）＝－cosα.因为a<

0，所以r＝－5a，所以cosα＝－，所以cos（540°

－α）＝－cosα＝.

9．[2018·

北京东城模拟]已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则tanθ＝________.

解析　解方程组得

或（舍）．

故tanθ＝－.

10．[2018·

淮北模拟]sin·

cos·

tan的值是________．

解析　原式＝sin·

tan－π－＝

·

＝×

×

（－）＝－.

[B级　知能提升]

湖北荆州联考]若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析　∵△ABC是锐角三角形，则A＋B＞，∴A＞－B＞0，B＞－A＞0，∴sinA＞sin＝cosB，sinB＞sin＝cosA，

∴cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0，

∴点P在第二象限．选B.

新乡模拟]若θ∈，sinθcosθ＝，则sinθ＝（　　）

解析　∵sinθcosθ＝，∴（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝，（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝，

∵θ∈，∴sinθ＋cosθ＝　①，sinθ－cosθ＝　②，联立①②得，sinθ＝.

3．已知cos（75°

＋α）＝，α是第三象限角，则sin（195°

－α）＋cos（α－15°

）的值为________．

解析　因为cos（75°

＋α）＝>

0，α是第三象限角，

所以75°

＋α是第四象限角，

sin（75°

＋α）＝－＝－.

所以sin（195°

）

＝sin[180°

＋（15°

－α）]＋cos（15°

－α）

＝－sin（15°

－α）＋cos（15°

＝－sin[9