计算方法简明教程数值积分及数值微分习题解析Word格式.docx

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故不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。

（4）若

故有

因此，

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

3。

直接验证柯特斯教材公式（2。

4）具有5交代数精度。

证明：

柯特斯公式为

因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。

4。

用辛普森公式求积分并估计误差。

辛普森公式为

此时，

从而有

误差为

5。

推导下列三种矩形求积公式：

两边同时在上积分，得

即

两连边同时在上积分，得

6。

若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？

若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？

采用复化梯形公式时，余项为

又

若，则

当对区间进行等分时，

因此，将区间213等分时可以满足误差要求

采用复化辛普森公式时，余项为

当对区间进行等分时

因此，将区间8等分时可以满足误差要求。

7。

如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。

采用梯形公式计算积分时，余项为

又且

即计算值比准确值大。

其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。

8。

用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过.

0.7717433

1

0.7280699

0.7135121

2

0.7169828

0.7132870

0.7132720

3

0.7142002

0.7132726

0.7132717

因此

3.451313

8.628283

-4.446923

14.2302495

11.1713699

10.1517434

10.4437969

10.2012725

10.2045744

10.2663672

10.2072240

10.2076207

10.2076691

4

10.2222702

10.2075712

10.2075943

10.2075939

10.2075936

5

10.2112607

10.2075909

10.2075922

9。

用的高斯-勒让德公式计算积分

用的高斯—勒让德公式计算积分

10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439（km），远地点距离H=2384（km）。

试求卫星轨道的周长。

从而有。

1.564640

1.564646

1.564648

即人造卫星轨道的周长为48708km

11。

证明等式

试依据的值，用外推算法求的近似值。

解

若

此函数的泰勒展式为

当时,

由外推法可得

n

2.598076

6

3.000000

3.133975

9

3.105829

3.141105

3.141580

12。

用下列方法计算积分，并比较结果。

（1）龙贝格方法；

（2）三点及五点高斯公式；

（3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。

解

（1）采用龙贝格方法可得

k

1.333333

1.166667

1.099259

1.116667

1.100000

1.103211

1.098726

1.098641

1.098613

1.099768

1.098620

（2）采用高斯公式时

此时

令则

利用三点高斯公式，则

利用五点高斯公式，则

（3）采用复化两点高斯公式

将区间四等分，得

作变换，则

因此，有

13.用三点公式和积分公式求在，和1.2处的导数值，并估计误差。

的值由下表给出：

x

1.01.11.2

F（x）

0.25000.22680.2066

由带余项的三点求导公式可知

故误差分别为

利用数值积分求导，

设

由梯形求积公式得

且

解方程组可得