西安交大计算方法b大作业课件Word文档下载推荐.docx
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end
%分别求解各项并求和
fork=n-1:
-1:
a1=4/（16^k*（8*k+1））;
a2=2/（16^k*（8*k+4））;
a3=1/（16^k*（8*k+5））;
a4=1/（16^k*（8*k+6））;
s1=a1+s1;
s2=a4+a3+a2+s2;
S=vpa（s1-s2,m）
实验结果：
11位有效数字计算结果如图1所示；
30为有效数字计算结果如图2所示。
图1.11位有效数字计算结果图2.30为有效数字计算结果
1.
某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位置的深度数据（单位:
米）如下表所示：
分点
1
2
3
4
5
6
深度
9.01
8.96
7.96
7.97
8.02
9.05
10.13
7
8
9
10
11
12
13
11.18
12.26
13.28
13.32
12.61
11.29
10.22
14
15
16
17
18
19
20
9.15
7.90
7.95
8.86
9.81
10.80
10.93
（1）请用合适的曲线拟合所测数据点；
（2）估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图；
算法思想：
由于题中所给点数为20，若采用高次多项式插值将产生很大的误差，所以拉格朗日或牛顿并不适用。
题中光缆为柔性，可光滑铺设于水底，鉴于此特性，采用三次样条插值插值法较为合适。
算法结构：
三次样条算法结构见《计算方法教程》P110；
光缆长度计算公式：
clear;
clc;
x=0:
20;
y=[9.018.967.967.978.029.0510.1311.1812.2613.2813.3212.6111.2910.229.157.907.958.869.8110.8010.93];
d=y;
plot（x,y,'
k.'
'
markersize'
15）
holdon
%%%计算差商
fork=1:
fori=21:
（k+1）
d（i）=（d（i）-d（i-1））/（x（i）-x（i-k））;
end
%%%设定d的边界条件
fori=2:
d（i）=6*d（i+1）;
end
d
（1）=0;
d（21）=0;
%%%带状矩阵求解（追赶法）
a=0.5*ones（1,21）;
b=2*ones（1,21）;
c=0.5*ones（1,21）;
a
（1）=0;
c（21）=0;
u=ones（1,21）;
u
（1）=b
（1）;
r=c;
yy
（1）=d
（1）;
%%%追
fork=2:
21
l（k）=a（k）/u（k-1）;
u（k）=b（k）-l（k）*r（k-1）;
yy（k）=d（k）-l（k）*yy（k-1）;
%%%赶
m（21）=yy（21）/u（21）;
fork=20:
m（k）=（yy（k）-r（k）*m（k+1））/u（k）;
%%%绘制曲线
k=1;
nn=100;
xx=linspace（0,20,nn）;
l=0;
forj=1:
nn
ifxx（j）<
=x（i）
k=i;
break;
else
k=i+1;
h=1;
xbar=x（k）-xx（j）;
xmao=xx（j）-x（k-1）;
s（j）=（m（k-1）*xbar^3/6+m（k）*xmao^3/6+（y（k-1）-m（k-1）*h^2/6）*xbar+（y（k）-m（k）*h^2/6）*xmao）/h;
sp（j）=-m（k-1）*（x（k）-xx（j））^2/（2*h）+m（k）*（xx（j）-x（k-1））^2/（2*h）+（y（k）-y（k-1））/h-（m（k）-m（k-1））*h/6;
l（j+1）=（1+sp（j）^2）^0.5*（20/nn）+l（j）;
%求解光缆长度
%%%绘图
plot（xx,s,'
r-'
linewidth'
1.5）
disp（['
¹
光缆长度为ª
'
num2str（l（nn+1））,'
Ã
×
]）
曲线图如图2-1所示，计算光缆长度如图2-2所示。
图2-1光缆插值曲线图
图2-1光缆计算长度显示
3.假定某天的气温变化记录如下表所示，试用数据拟合的方法找出这一天的气温变化的规律;
试计算这一天的平均气温,并试估计误差。
时刻
平均气温
23
25
28
22
24
31
34
29
27
此题中所给数据点数目较多，采用拉格朗日插值法或者牛顿插值法需要很高次的多项式，计算困难，误差大；
采用样条插值计算量虽然不大，但是存放参数Mi的量很大，且没有一个统一的数学公式来表示，也不是很方便。
所以可考虑用最小二乘法进行拟合。
计算过程中，分别使用二次函数、三次函数以及四次函数，计算其相应的系数，估算误差并作图比较各个函数之间的区别。
（参考课本P123）
1.1[形成矩阵Qk]
1.2[变换Gk-1到Gk]
2.[求解三角方程]
3.[计算误差]
源代码：
x=0:
24;
y=[15
14
15
16
18
20
23
25
28
31
34
29
27
24
22
17
16];
m=length（x）;
n=input（'
请输入函数的次数
plot（x,y,'
x,y,'
-'
）
grid;
hold
on;
n=n+1;
G=zeros（m,n+1）;
G（:
n+1）=y'
;
c=zeros（1,n）;
%建立c来存放σ
q=0;
f=0;
b=zeros（1,m）;
%建立b用来存放β
%%%形成矩阵G
for
j=1:
n
i=1:
m
G（i,j）=x（1,i）^（j-1）;
end
%%%建立矩阵Qk
k=1:
i=k:
c（k）=G（i,k）^2+c（k）;
c（k）=-sign（G（k,k））*（c（k）^0.5）;
w（k）=G（k,k）-c（k）;
%建立w来存放ω
j=k+1:
w（j）=G（j,k）;
b（k）=c（k）*w（k）;
%%%变换矩阵Gk-1到Gk
G（k,k）=c（k）;
n+1
q=w（i）*G（i,j）+q;
s=q/b（k）;
G（i,j）=s*w（i）+G（i,j）;
%%%求解三角方程
Rx=h1
a（n）=G（n,n+1）/G（n,n）;
i=n-1:
（-1）:
j=i+1:
f=G（i,j）*a（j）+f;
a（i）=（G（i,n+1）-f）/G（i,i）;
%a（i）存放各级系数
a
%%%回代过程
p=zeros（1,m）;
p（j）=p（j）+a（i）*x（j）^（i-1）;
plot（x,p,'
r*'
x,p,'
E2=0;
%用E2来存放误差
%%%误差求解
i=n+1:
E2=G（i,n+1）^2+E2;
E2=E2^0.5;
disp（'
误差为'
disp（E2）;
t=0;
t=t+p（i）;
t=t/m;
%%%平均温度
平均温度为'
num2str（t）,'
℃'
二次函数拟合，结果如下图所示
图3-1二次函数拟合结果
三次函数拟合，结果如下图所示
图3-2三次函数拟合结果
四次函数拟合，结果如下图所示
图3-3四次函数拟合结果
结果对比：
将二次函数、三次函数和四次函数拟合结果绘制在同一个坐标内，如图3-4所示。
其计算误差结果见表3-1所示。
图3-4拟合结果对比分析
4.设计算法，求出非线性方程
的所有实根，并使误差不超过
。
本题可采用牛顿法迭代求解,令
得带格式为
根据函数图像可以找出根的大致分布区间,带入不同的初值即可解出不同的根.
源代码:
functiony=f2（x）
y=6*x.^5-45*x.^2+20;
%定义原函数
functiony=f3（x）
y=30*x^4-90*x;
%定义原函数倒数
i=-5:
0.1:
5;
y=f2（i）;
plot（i,y）
holdon
plot（i,0,'
）%画出原函数图像
%%Newton法求根
x1=input（'
输入初值'
e
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