圆的证明与计算题专题研究答案1份综述Word文档格式.docx
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1、判定切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
常见手法有:
全等转化;
平行转化;
直径转化;
中线转化等;
有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:
角平分线定理;
等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);
②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:
(1)如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,AD∥OC交⊙O于D点,求证:
CD为⊙O的切线;
(2)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连结DE,求证:
DE是⊙O的切线.
(3)如图,以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE⊥AC于E(或E为CF中点),求证:
(4)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,求证:
CD是⊙O的切线.
2、与圆有关的计算:
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:
如:
①构建矩形转化线段;
②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);
③构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;
④构造勾股定理模型;
⑤构造三角函数.
(2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3、典型基本图型:
图形1:
如图1:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,基本结论有:
(1)在“AC平分∠BAE”;
“AD⊥CD”;
“DC是⊙O的切线”三个论断中,知二推一。
(2)如图2、3,DE等于弓形BCE的高;
DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。
(3)如图(4):
若CK⊥AB于K,则:
①CK=CD;
BK=DE;
CK=
BE=DC;
AE+AB=2BK=2AD;
②⊿ADC∽⊿ACB
AC2=AD•AB
(4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG⊥CD
于E时(如图5),则:
①DE=GB;
②DC=CG;
③AD+BG=AB;
④AD•BG=
=DC2
图形2:
如图:
Rt⊿ABC中,∠ACB=90°
。
点O是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC于点E,基本结论有:
(1)在“BO平分∠CBA”;
“BO∥DE”;
“AB是⊙O的切线”;
“BD=BC”。
四个论断中,知一推三。
(2)①G是⊿BCD的内心;
②;
③⊿BCO∽⊿CDE
BO•DE=CO•CE=
CE2;
(3)在图
(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
(4)如图(3),若①BC=CE,则:
②
=
=tan∠ADE;
③BC:
AC:
AB=3:
4:
5;
(在①、②、③中知一推二)④设BE、CD交于点H,,则BH=2EH
图形3:
Rt⊿ABC中,∠ABC=90°
以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:
如右图:
(1)DE切⊙O
E是BC的中点;
(2)若DE切⊙O,则:
①DE=BE=CE;
②D、O、B、E四点共圆
∠CED=2∠A
③CD·
CA=4BE2,
图形特殊化:
在
(1)的条件下
DE∥AB
⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;
如图2:
若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:
①
;
图形4:
如图,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,
基本结论有:
(1)DE⊥AC
DE切⊙O;
(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:
①⊿DFC是等腰三角形;
②EF=EC;
③D是的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD,产生母子三角形。
图形5:
:
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:
(1)如图1:
①AD+BC=CD;
②∠COD=∠AEB=90°
;
③OD平分∠ADC(或OC平分∠BCD);
(注:
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中,知一推三)
④AD·
BC=
2=R2;
(2)如图2,连AE、CO,则有:
CO∥AE,CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
(3)如图3,若EF⊥AB于F,交AC于G,则:
EG=FG.
图形6:
直线PR⊥⊙O的半径OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直线PQ于R。
(1)PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形);
(2)在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中,知二推一
(3)2PR·
RE=BR·
RQ=BE·
2R=AB2
图形7:
如图,⊿ABC内接于⊙O,I为△ABC的内心。
(1)如图1,①BD=CD=ID;
②DI2=DE·
DA;
③∠AIB=90°
+
∠ACB;
(2)如图2,若∠BAC=60°
,则:
BD+CE=BC.
图形8:
已知,AB是⊙O的直径,C是中点,CD⊥AB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
(1)CD=
BG;
BE=EF=CE;
GF=2DE
(反之,由CD=
BG或BE=EF可得:
C是中点)
(2)OE=
AF,OE∥AC;
⊿ODE∽⊿AGF
(3)BE·
BG=BD·
BA
(4)若D是OB的中点,则:
①⊿CEF是等边三角形;
②
四、范例讲解:
例题1:
△ABP中,∠ABP=90°
,以AB为直径作⊙O交AP于C点,弧
=
,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.
(1)求证:
(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求
的值。
例题2:
直角梯形ABCD中,∠BCD=90°
,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F.
⑴求证:
CD为⊙O的切线
⑵若
,求
的值
例题3:
如图,AB为直径,PB为切线,点C在⊙O上,AC∥OP。
PC为⊙O的切线。
(2)过D点作DE⊥AB,E为垂足,连AD交BC于G,CG=3,DE=4,求
其实正确的方法是:
第一步:
证等腰△FBD:
∵∠BDE=∠BAD(△BDE~△BAD),∠BAD=∠CAD(对应的弧相等),∠CAD=∠CBD(对应的弧相同),∴∠BDE=∠CBD,∴FB=FD。
第二步:
证在直角△BDG中,FB=FG=FD:
在直角△BDG中,∵∠GDF+∠BDF=90,∠DGB+∠DBF=90,∠BDF=∠DBF,∴∠GDF=∠DGB(等角的余角相等),∴FD=FG。
∴FB=FG=FD=5/2(我们证明的是非常经典的标准图形:
直角三角形斜边上的中线=斜边的一半)第三步,利用△DFM全等于△BFE(FB=FD,对顶角,直角分别相等)求各边边长:
CB=CG+GF+FB=3+5/2+5/2=8,∴MB=(1/2)*BC=4,MF=MB-FB=4-5/2=3/2,直角△DFM中,用勾股定理求出DM=(DF^2-MF^2)^(1/2)。
最后,在直角△DMB中,tan∠DBM=DM/MB。
又∵∠DAC=∠DBM,∴tan∠DAC=tan∠DBM
例题4(2009调考):
如图,已知△ABC中,以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为的中点,AF为△ABC的角平分线,且AF⊥EC。
AC与⊙O相切;
(2)若AC=6,BC=8,求EC的长
五、练习:
1.如图,Rt△ABC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,,过D作AE的垂线,F为垂足.
DF为⊙O的切线;
(2)若DF=3,⊙O的半径为5,求
的值.
2.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,,过D作直线BC的垂线交直线AB于点E,F为垂足.
EF为⊙O的切线;
(2)若AC=6,BD=5,求
3.如图,AB为⊙O的直径,半径OC⊥AB,D为AB延长线上一点,过D作⊙O的切线,E为切点,连结CE交AB于点F.
DE=DF;
(2)连结AE,若OF=1,BF=3,求
连BC,过F作BC的垂线,垂足为H
则有等腰RT△BFH,角A=角BCE
BF=3,FH=BH=(3倍根号2)/2
BC=4倍根号2
HC=(5倍根号2)/2
RT△CFH中,tan∠HCF=3/5=tanA
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,BD平分∠ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O,⊙O交AB于点一点E,EF⊥AC于点F.
⊙O与AC相切;
(2)若EF=3,BC=4,求
)连OD
在圆O中,OD=OB∴∠ODB=∠OBD
∵BD平分∠ABC即∠DBC=∠OBD∴∠ODB=∠DBC
∴OD∥BC∴∠ODA=∠C=90°
∴⊙O与AC相切;
(2)∵EF⊥AC,∠C=90°
∴∠EFA=∠C=90°
∴EF∥BC∴AE/AB=EF/BC=3/4
设AE=3a,AB=4a∴EB=a
∴EO=OD=0.5aAO=3a+0.5a=3.5a
在RT△ODA中,AD=2倍根号3a
∴tanA=OD/AD=0,5a/2倍根号3a=根号3/12
5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,DE⊥AC于E.
DE为⊙O的切线;
(2)若BC=
,AE=1,求
的值.
6.如图,BD为⊙O的直径,A为的中点,AD交BC于点E,F为BC延长线上一点,且FD=FE.
(2)若AE=2,DE=4,△BDF的面积为
7、如图,AB是⊙O的直径,M是线