圆的证明与计算题专题研究答案1份综述Word文档格式.docx

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1、判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：

全等转化；

平行转化；

直径转化；

中线转化等；

有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：

角平分线定理；

等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：

CD为⊙O的切线；

（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：

DE是⊙O的切线.

（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：

（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：

CD是⊙O的切线.

2、与圆有关的计算：

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：

如：

①构建矩形转化线段；

②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；

③构造垂径定理模型：

弦长一半、弦心距、半径；

④构造勾股定理模型；

⑤构造三角函数.

（2）方程思想：

设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：

借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3、典型基本图型：

图形1：

如图1：

AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：

（1）在“AC平分∠BAE”；

“AD⊥CD”；

“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；

DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。

（3）如图（4）：

若CK⊥AB于K，则：

①CK=CD；

BK=DE；

CK=

BE=DC；

AE+AB=2BK=2AD;

②⊿ADC∽⊿ACB

AC2=AD•AB

（4）在

（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD

于E时（如图5），则：

①DE=GB；

②DC=CG；

③AD+BG=AB；

④AD•BG=

=DC2

图形2：

如图：

Rt⊿ABC中，∠ACB=90°

。

点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”;

“BO∥DE”;

“AB是⊙O的切线”;

“BD=BC”。

四个论断中，知一推三。

（2）①G是⊿BCD的内心；

②；

③⊿BCO∽⊿CDE

BO•DE=CO•CE=

CE2；

（3）在图

（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。

（4）如图（3），若①BC=CE，则：

②

=

=tan∠ADE；

③BC：

AC：

AB=3：

4：

5；

（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH

图形3：

Rt⊿ABC中，∠ABC=90°

以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：

如右图：

（1）DE切⊙O

E是BC的中点；

（2）若DE切⊙O，则：

①DE=BE=CE；

②D、O、B、E四点共圆

∠CED=2∠A

③CD·

CA=4BE2,

图形特殊化：

在

（1）的条件下

DE∥AB

⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；

如图2：

若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：

①

;

图形4：

如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，

基本结论有：

（1）DE⊥AC

DE切⊙O；

（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：

①⊿DFC是等腰三角形；

②EF=EC；

③D是的中点。

④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD，产生母子三角形。

图形5：

：

以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：

（1）如图1：

①AD+BC＝CD；

②∠COD=∠AEB=90°

；

③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；

（注：

在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）

④AD·

BC＝

2=R2；

（2）如图2，连AE、CO，则有：

CO∥AE，CO•AE=2R2（与基本图形2重合）

（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：

EG=FG.

图形6：

直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。

（1）PQ=PR（⊿PQR是等腰三角形）；

（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一

（3）2PR·

RE=BR·

RQ=BE·

2R=AB2

图形7：

如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。

（1）如图1，①BD=CD=ID；

②DI2＝DE·

DA；

③∠AIB=90°

+

∠ACB;

（2）如图2，若∠BAC=60°

，则：

BD+CE=BC.

图形8：

已知，AB是⊙O的直径，C是中点，CD⊥AB于D。

BG交CD、AC

于E、F。

（1）CD=

BG；

BE=EF=CE；

GF=2DE

（反之，由CD=

BG或BE=EF可得：

C是中点）

（2）OE=

AF，OE∥AC；

⊿ODE∽⊿AGF

（3）BE·

BG=BD·

BA

（4）若D是OB的中点，则：

①⊿CEF是等边三角形；

②

四、范例讲解：

例题1：

△ABP中，∠ABP=90°

，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧

=

，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.

（1）求证：

（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求

的值。

例题2：

直角梯形ABCD中，∠BCD=90°

，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.

⑴求证：

CD为⊙O的切线

⑵若

，求

的值

例题3：

如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。

PC为⊙O的切线。

（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求

其实正确的方法是：

第一步：

证等腰△FBD:

∵∠BDE=∠BAD（△BDE~△BAD）,∠BAD=∠CAD（对应的弧相等），∠CAD=∠CBD（对应的弧相同），∴∠BDE=∠CBD,∴FB=FD。

第二步:

证在直角△BDG中，FB=FG=FD:

在直角△BDG中，∵∠GDF+∠BDF=90,∠DGB+∠DBF=90,∠BDF=∠DBF,∴∠GDF=∠DGB（等角的余角相等），∴FD=FG。

∴FB=FG=FD=5/2（我们证明的是非常经典的标准图形：

直角三角形斜边上的中线=斜边的一半）第三步，利用△DFM全等于△BFE（FB=FD,对顶角，直角分别相等）求各边边长：

CB=CG+GF+FB=3+5/2+5/2=8，∴MB=（1/2）*BC=4，MF=MB-FB=4-5/2=3/2，直角△DFM中，用勾股定理求出DM=（DF^2-MF^2）^（1/2）。

最后，在直角△DMB中，tan∠DBM=DM/MB。

又∵∠DAC=∠DBM,∴tan∠DAC=tan∠DBM

例题4（2009调考）：

如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。

AC与⊙O相切；

（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长

五、练习：

1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，，过D作AE的垂线，F为垂足.

DF为⊙O的切线；

（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求

的值.

2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.

EF为⊙O的切线；

（2）若AC=6，BD=5，求

3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.

DE=DF；

（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求

连BC，过F作BC的垂线，垂足为H

则有等腰RT△BFH，角A=角BCE

BF=3，FH=BH=（3倍根号2）/2

BC=4倍根号2

HC=（5倍根号2）/2

RT△CFH中，tan∠HCF=3/5=tanA

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°

，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.

⊙O与AC相切；

（2）若EF=3，BC=4，求

）连OD

在圆O中，OD=OB∴∠ODB=∠OBD

∵BD平分∠ABC即∠DBC=∠OBD∴∠ODB=∠DBC

∴OD∥BC∴∠ODA=∠C=90°

∴⊙O与AC相切；

（2）∵EF⊥AC，∠C=90°

∴∠EFA=∠C=90°

∴EF∥BC∴AE/AB=EF/BC=3/4

设AE=3a，AB=4a∴EB=a

∴EO=OD=0.5aAO=3a+0.5a=3.5a

在RT△ODA中，AD=2倍根号3a

∴tanA=OD/AD=0,5a/2倍根号3a=根号3/12

5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.

DE为⊙O的切线；

（2）若BC=

，AE=1，求

的值.

6．如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.

（2）若AE=2，DE=4，△BDF的面积为

7、如图，AB是⊙O的直径，M是线