完整版高中概率与统计复习知识点与题型文档格式.docx
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频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3概率的基本性质
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P（A∪B）=P（A）+P（B）；
若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：
（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发生；
（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；
（1）事件A发生B不发生；
（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1—3.2.2古典概型及随机数的产生
1、
（1）古典概型的使用条件：
试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
（1）几何概率模型：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（1）几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
一、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量：
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
…
P
有性质①；
②.
注意：
若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：
即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布：
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
[其中]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·
p），其中n，p为参数，并记.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：
“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
1
2
3
k
q
qp
我们称ξ服从几何分布，并记，其中
5.⑴超几何分布：
一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：
一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：
把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：
含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；
然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明：
当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1.期望的含义：
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量的数学期望：
①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
ξ
q
p
⑵单点分布：
其分布列为：
.
⑶两点分布：
，其分布列为：
（p+q=1）
⑷二项分布：
其分布列为～.（P为发生的概率）
⑸几何分布：
3.方差、标准差的定义：
当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）
其分布列为
其分布列为：
5.期望与方差的关系.
⑴如果和都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化：
⑷（因为为一常数）.
三、正态分布.
1.密度曲线与密度函数：
对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2.⑴正态分布与正态曲线：
如果随机变量ξ的概率密度为：
.（为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：
若～，则ξ的期望与方差分别为：
.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当＜时，曲线上升；
当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3.⑴标准正态分布：
如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.
当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：
若～则ξ的分布函数通
常用表示，且有.
习题
1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是（）
A．B．C．D．
2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概
率是（）
A．B.C.D.
3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是,那么至少有1人解对的概率
是（）
A.B.C.D.
4．从数字1,2,3,4,5这五个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率
A.B.C.D.
5．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和
为偶数的概率是（）
A、B、C、D、
6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名
女生的概率是（）
A．B．C．D．
7．已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色
外完全相同）．现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再
从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的
概率等于（）
A．B．C．D．
C92/C103乘以C92/C103
8．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素
用ai（i=1，2，3，4，5）表示，在B中任取一个元素用bj（j=1，2，3，4，5）表示，则
所取两数满足ai>
bI的概率为（）
9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随
机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）直径有5个
A.B.C.D.
10．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽
出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品（）
A.7个B.8个C.9个D.10个
11．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的
概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）
A、0.48B、0.52C、0.8D、0.92
12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其
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