证明质量均匀分布的球壳对球内任一点的引力为零_精品文档Word文件下载.doc
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A2
A2´
P
O
Ω
θ
r1
r2
证明如下：
如图，质量均匀分布的球壳（绿色部分），
在其内部任放一质点P，过P作一条直线
A1A2´
，以这条直线为母线，以很小的Ω
为立体角旋转一周得两圆锥。
两圆锥截得
两块“球皮”A1A1´
和A2A2´
，现证明这
两块“球皮”对质点P的引力的合力为零。
首先，由于两块“球皮”很小，而且
立体角Ω很小（或者说圆锥的顶角很小），
所以由图易知，P所受两“球皮”的引力
的方向必相反。
故只须再证明P所受两
“球皮”的引力大小相等。
为此——
设P点所放质点的质量为m，两“球皮”
的面积分别为ΔS1和ΔS2，球壳的质量面密度为σ，
两“球皮”到P点的距离分别为r1和r2，由万有引力定律
可得P点所放质点m受到的两个引力大小分别为和
过P点沿两圆锥轴线作虚线（蓝色）分别交两“球皮”于A1´
和A2´
两点，这条直线与两半径的夹角均为θ（为什么），如图所示。
现将ΔS1投影到与直线A1´
垂直的平面上，即投影到图中过A1点且与直线A1´
垂直的平面上。
因立体角——圆锥顶角很小，所以投影平面面积与球冠面积相等。
所以投影得到一球冠，面积为ΔS1·
cosθ（为什么？
自己想想！
）。
同样的，将ΔS2投影到过A2点的平面上，得到另一球冠，它的面积为ΔS2·
cosθ。
根据球冠的面积公式可得与球冠对应（的圆锥的）立体角为。
显然，这一立体角与球的半径R、球冠的高度h均无关，仅与圆锥的顶角的一半有关。
对比平面弧度角与圆的半径无关，可以更好地加以理解。
万事具备，只欠——
因为两个圆锥的顶角相等，从而两个立体角Ω相等，从而F1与F2大小相等。
这样，我们就证明了两块“球皮”ΔS1和ΔS2对放在P点质点m的引力的合力为零；
而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮”，每一对“球皮”对放在任意点P的质点的引力的合力均为零；
所以，质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零！
！
OK~~呼呼~~~
附录：
“球冠面积”与“立体角Ω”，将下图立体想象起来。
。
h
R
α
式中，R为球的半径，h为球冠的高度，α为与球冠对应的圆锥的半顶角。
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