高考复习讲解专题之不等式.doc
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第七编不等式
§7.1不等关系与不等式
1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是.
答案-a＞a2＞-a3
2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，则-n，-m，m，n的大小关系是.
答案m＜-n＜n＜-m
3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么a,ab,ab2的大小关系是.
答案ab＞ab2＞a
4.设a=2-,b=-2,c=5-2,则a,b,c的大小关系为.
答案a＜b＜c
5.设甲：
m、n满足乙：
m、n满足那么甲是乙的条件.
答案必要不充分
例1
（1）设x＜y＜0,试比较（x2+y2）（x-y）与（x2-y2）（x+y）的大小；
（2）已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,n＞2时比较cn与an+bn的大小.
解
（1）方法一（x2+y2）（x-y）-（x2-y2）（x+y）
=（x-y）［x2+y2-（x+y）2］=-2xy（x-y）,
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
∴-2xy（x-y）＞0,
∴（x2+y2）（x-y）＞（x2-y2）（x+y）.
方法二∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
∴（x2+y2）（x-y）＜0,（x2-y2）（x+y）＜0,
∴0＜=＜1,
∴（x2+y2）（x-y）＞（x2-y2）（x+y）.
（2）∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn＞0,
而=+.
∵a2+b2=c2,则+=1,
∴0＜＜1,0＜＜1.
∵n∈N,n＞2,
∴＜,＜,
∴=+＜=1,
∴an+bn＜cn.
例2已知a、b、c是任意的实数，且a＞b,则下列不等式恒成立的是.
①（a+c）4＞（b+c）4②ac2＞bc2
③lg|b+c|＜lg|a+c|④（a+c）＞（b+c）
答案④
例3（14分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.
解设2a+3b=m（a+b）+n（a-b）,
∴,4分
∴m=,n=-.6分
∴2a+3b=（a+b）-（a-b）.7分
∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,
∴-＜（a+b）＜,-2＜-（a-b）＜-1,10分
∴-＜（a+b）-（a-b）＜,12分
即-＜2a+3b＜.14分
1.
（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R;
（2）设a∈R,且a≠0,试比较a与的大小.
解
（1）（x6+1）-（x4+x2）
=x6-x4-x2+1=x4（x2-1）-（x2-1）
=（x2-1）（x4-1）=（x2-1）（x2-1）（x2+1）
=（x2-1）2（x2+1）.
当x=±1时，x6+1=x4+x2;
当x≠±1时，x6+1＞x4+x2.
（2）a-==
当-1＜a＜0或a＞1时,a＞；
当a＜-1或0＜a＜1时,a＜；
当a=±1时,a=.
2.适当增加不等式条件使下列命题成立：
（1）若a＞b,则ac≤bc;
（2）若ac2＞bc2,则a2＞b2;
（3）若a＞b,则lg（a+1）＞lg（b+1）;
（4）若a＞b,c＞d,则＞;
（5）若a＞b,则＜.
解
（1）原命题改为：
若a＞b且c≤0，则ac≤bc,即增加条件“c≤0”.
（2）由ac2＞bc2可得a＞b,但只有b≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b≥0”.
（3）由a＞b可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b＞-1”.
（4）＞成立的条件有多种，如a＞b＞0,c＞d＞0,因此可增加条件“b＞0,d＞0”.还可增加条件为“a＜0,c＞0,d＜0”.
（5）＜成立的条件是a＞b,ab＞0或a＜0,b＞0,
故增加条件为“ab＞0”.
3.设f（x）=ax2+bx,1≤f（-1）≤2,2≤f
（1）≤4,求f（-2）的取值范围.
解方法一设f（-2）=mf（-1）+nf
（1）（m,n为待定系数）,
则4a-2b=m（a-b）+n（a+b）,
即4a-2b=（m+n）a+（n-m）b,
于是得,解得,
∴f（-2）=3f（-1）+f
（1）.
又∵1≤f（-1）≤2,2≤f
（1）≤4,
∴5≤3f（-1）+f
（1）≤10,
故5≤f（-2）≤10.
方法二由,
得,
∴f（-2）=4a-2b=3f（-1）+f
（1）.
又∵1≤f（-1）≤2,2≤f
（1）≤4,
∴5≤3f（-1）+f
（1）≤10,故5≤f（-2）≤10.
方法三由确定的平面区域如图.
当f（-2）=4a-2b过点A时,
取得最小值4×-2×=5,
当f（-2）=4a-2b过点B（3,1）时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f（-2）≤10.
一、填空题
1.已知a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列不等式中恒成立的是（填序号）.
①＞②＞0③＞④＜0
答案①②④
2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a满足ab2＞a＞ab,则实数b的取值范围为.
答案（-∞，-1）
3.（2009·苏、锡、常、镇三检）已知三个不等式：
ab＞0，bc-ad＞0,-＞0（其中a,b,c,d均为实数）,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为个.
答案3
4.已知函数f（x）=log2（x+1）,设a＞b＞c＞0,则,,的大小关系为.
答案＜＜
5.若x＞y＞1,且0＜a＜1,则①ax＜ay;②logax＞logay;③x-a＞y-a;④logxa＜logya.
其中不成立的有个.
答案3
6.已知a+b＞0，则+与+的大小关系是.
答案+≥+
7.给出下列四个命题：
①若a＞b＞0,则＞;
②若a＞b＞0,则a-＞b-;
③若a＞b＞0,则＞;
④设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+≥2.
其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）
答案②
二、解答题
8.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.
解=aa-bbb-a=,
当a＞b＞0时，＞1,a-b＞0,∴＞1；
当0＜a＜b时，＜1,a-b＜0,∴＞1.
综上所述，总有aabb＞abba.
9.已知奇函数f（x）在区间（-∞,+∞）上是单调递减函数,,,∈R且+＞0,+＞0,+＞0.
试说明f（）+f（）+f（）的值与0的关系.
解由+＞0,得＞-.
∵f（x）在R上是单调减函数,∴f（）＜f（-）.
又∵f（x）为奇函数,∴f（）＜-f（）,∴f（）+f（）＜0,
同理f（）+f（）＜0,f（）+f（）＜0,
∴f（）+f（）+f（）＜0.
10.某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.
解设买软件x片、磁盘y盒,
N+
N+
则x、y满足关系：
.
11.已知a＞0,a2-2ab+c2=0,bc＞a2.试比较a,b,c的大小.
解∵bc＞a2＞0,∴b,c同号.
又a2+c2＞0,a＞0,∴b=＞0,∴c＞0,
由（a-c）2=2ab-2ac=2a（b-c）≥0,∴b-c≥0.
当b-c＞0,即b＞c时,
由得·c＞a2
即（a-c）（2a2+ac+c2）＜0.
∵a＞0,b＞0,c＞0,∴2a2+ac+c2＞0,
∴a-c＜0,即a＜c,则a＜c＜b；
当b-c=0,即b=c时,
∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.
又∵a2-2ab+c2=（a-b）2=0a=b与a≠b矛盾,
∴b-c≠0.
综上可知:
a＜c＜b.
§7.2一元二次不等式及其解法
1.下列结论正确的是.
①不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}
②不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}
③不等式（x-1）2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}
④设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}
答案③
2.（2007·湖南理）不等式≤0的解集是.
答案（-1，2］
3.（2008·天津理）已知函数f（x）=则不等式x+（x+1）·f（x+1）≤1的解集是.
答案{x|x≤-1}
4.在R上定义运算:
xy=x（1-y）.若不等式（x-a）（x+a）＜1对任意实数x成立,则a的取值范围是.
答案-＜a＜
5.（2008·江苏，4）A={x|（x-1）2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为.
答案0
例1解不等式≥（x2-9）-3x.
解原不等式可化为-x2+≥x2--3x,
即2x2-3x-7≤0.
解方程2x2-3x-7=0,得x=.
所以原不等式的解集为
.
例2已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（,）,且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.
解方法一由已知不等式的解集为（，）可得a＜0,
∵，为方程ax2+bx+c=0的两根，
②
①
∴由根与系数的关系可得
∵a＜0,∴由②得c＜0,
则cx2+bx+a＜0可化为x2++＞0,
①÷②得==-＜0,
由②得==·＞0,
∴、为方程x2+x+=0的两根.
∵0＜＜,
∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为
.
方法二由已知不等式解集为（,）,得a＜0,
且，是ax2+bx+c=0的两根，
∴+=-,=,
∴cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0
（）x2-（+）x+1＞0（x-1）（x-1）＞0
＞0.
∵0＜＜,∴＞,∴x＜或x＞,
∴cx2+bx+a＜0的解集为.
例3已知不等式＞0（a∈R）.
（1）解这个关于x的不等式;
（2）若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.
解
（1）原不等式等价于（ax-1）（x+1）＞0.
①当a=0时,由-（x+1）＞0,得x＜-1;
②当a＞0时,不等式化为（x+1）＞0,
解得x＜-1或x＞;
③当a＜0时,不等式化为（x+1）＜0;
若＜-1,即-1＜a＜0,则＜x＜-1;
若=-1
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