函数与方程知识点总结_精品文档Word格式文档下载.doc

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①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。

②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。

③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：

如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法

①代数法：

函数的零点的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）二次函数零点个数确定

有2个零点有两个不等实根；

有1个零点有两个相等实根；

无零点无实根；

对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.

1、二分法

（1）二分法的定义:

对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

①确定区间,验证,给定精确度;

②求区间的中点;

③计算;

（ⅰ）若,则就是函数的零点;

（ⅱ）若,则令（此时零点）;

（ⅲ）若,则令（此时零点）;

④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为（或）;

否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】函数在区间内的零点个数是（B）

A、0　B、1　　　C、2　　　D、3

【解析】解法1：

因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.

解法2：

设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：

可知B正确.

【例2】函数　f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（　B　）

A、（－2，－1）　　　B、（－1,0）C、（0,1）D、（1,2）

【解析】∵f（－1）＝2－1＋3×

（－1）＝－<

0，f（0）＝20＋0＝1>

0，∴f（－1）f（0）<

0.

∴　f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间为（－1,0）．

【例3】下列函数中能用二分法求零点的是（　C　）

【例4】若函数（且）有两个零点，则实数的取值范围是.

【解析】函数=（且）有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；

当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【例5】函数，零点个数为（B）

A、3B、2C、1D、0

【例6】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f

（1）=－2

f（1.5）=0.625

f（1.25）=－0.984

f（1.375）=－0.260

f（1.4375）=0.162

f（1.40625）=－0.054

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （C）

A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5

【例7】如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（C）

A、B、C、D、

【例8】方程根的个数为（D）

A、无穷多Error!

Nobookmarknamegiven.B、C、D、

【例9】用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点，第二次应计算.以上横线上应填的内容为（A）

A、（0，0.5）， B、（0，1），

C、（0.5，1），D、（0，0.5），

反思：

（1）函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有：

①函数零点值大致存在区间的确定；

②零点个数的确定；

③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

（2）提醒：

函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标．

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