高中数学新人教版必修2教案第3章 312 两条直线平行与垂直的判定 含答案Word下载.docx

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图示

　判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若两条直线斜率相等，则两直线平行．（　　）

（2）若l1∥l2，则k1＝k2.（　　）

（3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．（　　）

（4）若两直线斜率都不存在，则两直线平行．（　　）

【解析】　

（1）、（4）中两直线有可能重合，故

（1）（4）错误；

（2）可能出现两直线斜率不存在情况，故

（2）错误；

（3）正确．

【答案】　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

教材整理2　两条直线垂直与斜率的关系

阅读教材P88“例5”以上部分，完成下列问题．

l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·

k2＝－1

l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2

直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　）

A．平行　B．重合

C．相交但不垂直D．垂直

【解析】　设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·

k2＝－1，故l1与l2垂直．

【答案】　D

[小组合作型]

两条直线平行的判定

　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

（1）l1经过点A（2,1），B（－3,5），l2经过点C（3，－3），D（8，－7）；

（2）l1经过点E（0,1），F（－2，－1），l2经过点G（3,4），H（2,3）；

（3）l1的倾斜角为60°

，l2经过点M（1，），N（－2，－2）；

（4）l1平行于y轴，l2经过点P（0，－2），Q（0,5）．

【精彩点拨】　先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行．

【自主解答】　

（1）由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，

又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.

（2）由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．

（3）由题意知，k1＝tan60°

＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．

（4）由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.

1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．

2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．

[再练一题]

1．已知P（－2，m），Q（m,4），M（m＋2,3），N（1,1），若直线PQ∥直线MN，求m的值.

【解】　当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；

当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；

当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝，

kMN＝＝.

因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，

即＝，解得m＝0或m＝1.

当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．

综上，m的值为0或1.

两条直线垂直的判定

（1）l1经过点A（3,2），B（3，－1），l2经过点M（1,1），N（2,1），判断l1与l2是否垂直；

（2）已知直线l1经过点A（3，a），B（a－2,3），直线l2经过点C（2,3），D（－1，a－2），若l1⊥l2，求a的值．

【精彩点拨】　

（1）若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；

若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；

（2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；

若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．

【自主解答】　

（1）直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.

（2）由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．

当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，

则l1⊥l2，满足题意．

当l1的斜率k1存在时，a≠5，

由斜率公式，得

k1＝＝，k2＝＝.

由l1⊥l2，知k1k2＝－1，

即×

＝－1，解得a＝0.

综上所述，a的值为0或5.

利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

1．一看：

就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．

2．二代：

就是将点的坐标代入斜率公式．

3．三求：

计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

2．

（1）l1经过点A（3,4）和B（3,6），l2经过点P（－5,20）和Q（5,20），判断l1与l2是否垂直；

（2）直线l1过点（2m,1），（－3，m），直线l2过点（m，m），（1，－2），若l1与l2垂直，求实数m的值．

【解】　

（1）直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，

∴l1⊥l2.

（2）①当两直线斜率都存在，即m≠－且m≠1时，有k1＝，k2＝.

∵两直线互相垂直，∴×

＝－1.∴m＝－1.

②当m＝1时，k1＝0，k2不存在，此时亦有两直线垂直．

当2m＝－3，m＝－时，k1不存在，k2＝＝＝－，l1与l2不垂直．

综上可知，实数m＝±

1.

[探究共研型]

直线平行与垂直的综合应用

探究1　已知△ABC的三个顶点坐标A（5，－1），B（1,1），C（2,3），你能判断△ABC的形状吗？

【提示】　如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·

kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°

.

∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．

探究2　已知定点A（－1,3），B（4,2），以A，B为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？

【提示】　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C（x,0），则kAC＝，kBC＝，所以·

＝－1，得x＝1或2，所以C（1,0）或（2,0）．

　已知四点A（－4,3），B（2,5），C（6,3），D（－3,0），若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.

【精彩点拨】　画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．

【自主解答】　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．由斜率公式可得kAB＝＝，

kCD＝＝，

kAD＝＝－3，

kBC＝＝－，

kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，

∴AB∥CD.

由kAD≠kBC，

∴AD与BC不平行．

又∵kAB·

kAD＝×

（－3）＝－1，

∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．

1．利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．

2．由几何图形的形状求参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．

3．已知A（1,0），B（3,2），C（0,4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．

【解】　设D（x，y），则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，所以kAB·

kCD＝－1，kDA＝kBC，

所以

解得

即D（10，－6）.

1．已知A（2,0），B（3,3），直线l∥AB，则直线l的斜率k等于（　　）

A．－3B．3

C．－D.

【解析】　因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.

【答案】　B

2．过点（，），（0,3）的直线与过点（，），（2,0）的直线的位置关系为

（　　）

A．垂直B．平行

C．重合D．以上都不正确

【解析】　过点（，），（0,3）的直线的斜率k1＝＝－；

过点（，），（2,0）的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·

k2＝－1，所以两条直线垂直．

【答案】　A

3．已知直线l1的倾斜角为60°

，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为________．

【解析】　由题意得m2＋－4＝tan60°

，解得m＝±

2.

【答案】　±

2

4．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M（3,5），N（x,7），P（－1，y），若l1⊥l2，则x＝______，y＝________.

【解析】　∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.

【答案】　－1　7

5．已知四点A（2,2＋2），B（－2,2），C（0,2－2），D（4,2），顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状．（说明理由）

【解】　∵kAB＝＝，

kAD＝＝－，

∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.

∴AB∥CD且BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

kBC＝－1，

∴AB⊥BC，

∴四边形ABCD是矩形．（）