上下极限的性质与应用_精品文档文档格式.doc

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[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.

[关键词]上极限;

下极限;

数列;

收敛性

1引言

极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;

并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;

另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:

实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.

2上、下极限的概念

2.1数列的上、下极限的概念

定义2.1.1[5]若表示数列的最大（小）聚点,则.

定义2.1.2[6]设是有界数列,若表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则.

注数列的上极限的特征是

（1）子列使得.

（2）对于的任一收敛子列恒有.

同样,下极限的特征是

（3）若是的子列,则,.

利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.

定义2.1.3[7]称为数列的上极限,称为数列的下极限.

注由于定义2.1.2设是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列无界的情况:

（1）数列有下界而无上界

按定义2.1.1,扩充聚点也可为,,显然,数列的最大聚点为,而最小聚点可能为有限数,可能为.

按定义2.1.2,,可为极限点,显然,数列所有收敛子列的极限组成数集的上确界为,而其下确界可能为有限数,可能为.

按定义2.1.3,显然,而单调增加,但可能没有上界,故可能为有限数,可能为.

（2）数列有上界而无下界,同上.

（3）数列既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有

.

据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价.

定义2.1.4[8]称为数列的上极限,称为数列的下极限.

定义2.1.5[9]设是一个实数

（1）若对,有无穷多个使得,同时至多有有限个使得,数称为数列的上极限,记作.

（2）若对,有无穷多个使得,同时至多有有限个使得,数称为数列的下极限,记作.

注1由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.

注2由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.

推论当的充分必要条件是.

注1若是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当没有上界时,我们可以认为它的上极限为,记为;

当没有下界时,它的极限为,记为.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论.

2.2函数的上、下极限

定义2.2.1[10]设在点的某去心邻域内有定义,如果存在点列使,则称时,存在子极限.或者说是当时的一个子极限.

与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者与最小者,分别称作上极限与下极限记为以及.同样有存在且仅当

2.3集合列的上、下极限

定义2.3.1[11]设是一个集合列,记;

.它们分别称为集合列的上极限与下极限.

3上、下极限的性质

性质3.1[12]（保序性）

性质3.2[13]（控制性质）若为的子列,则有

性质3.3[5]（保不等式性）设数列和是两个有界数列且有,使当时,有则,.

注1若有（常数）,则有;

若有,则有.

注2若为常数,又存在,时有则.

性质3.4[14]（符号性质）,.

性质3.5[15]（符号性质）

（1）若,则,.

（2）若,则,.

性质3.6若为有界递增数列,则

相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论.

性质3.7（加减运算性质）若,为有界数列,则

（3.1）

.（3.2）

注1不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取,,,则有,,.

推论若和中有一个收敛,则有:

.

性质3.8（加减运算性质）若,为有界数列,则

性质3.9（乘法运算性质）若,,则

特别地,若与之一收敛时取等号.

性质3.10（倒数运算性质）若,则.

推论若,,且则数列收敛.

4上、下极限的应用

4.1上、下极限在数列敛散性中的作用

上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.

例4.1.1若则.

分析有界数列的极限不存在,即有界数列发散时,但有界数列的上极限和下极限一定是存在的;

又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.

证设,当时,结论必然成立.

当时,由数列极限的定义可知,,当时,有,

任取,令,将所得个不等式相乘,由可得:

即

则

其中

于是有

由此得

由的任意性可知,所证结论成立.

例4.1.2设为有界数列,是它的一个子列,,证明,如果,则收敛并求其极限.

证由上,下极限的性质3.7有

于是

.

由可得,从而收敛,令.

则,

由于,因此.

利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.

例4.1.3设非负数列满足条件,,证明数列.

证对任意的有,

于是,,因此数列是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令

则有

取定正整数,对于任意的正整数,必有,于是

因此

对于固定的,取上极限便得

对于每一个都成立,因而

从而有

又根据所以

上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:

（1）证明有界;

（2）证明有收敛子列收敛到某个常数;

（3）证明也收敛到.而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.

定理4.1.4设是有界数列.

（1）的充分必要条件是对任何都存在,使当时,就有且在的一个子列,使得;

（2）的充分必要条件是对任何都存在,使当时,就有且存在的一个子列,使得.

定理4.1.5若是有界数列且有和,则有

（1）存在的一个子序列收敛于;

（2）存在的一个子序列收敛于;

（3）存在的任一收敛子列,若其极限为,则有.

定理4.1.6（柯西收敛原则）数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.

证必要性设.于是对于任给的,都有,使当时,就有

于是当时,就有

即为柯西数列.

充分性设是柯西数列.于是有,使当时,就有

特别地,当时,有

可见,有界.

对于任给的,存在,使当时,就有

在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到

因此有

由的任意性即得.再由定理4.1.5即知收敛.

注1柯西数列[10]:

设是一个数列,如果对于,都存在自然数,使当,时,就有,则称为柯西数列或基本数列.

注2柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可.

4.2上、下极限在极限运算中的作用

例4.2.1已知,求证.

分析这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:

由于对任意,存在,当时,有,所以

（4.1）

令,得到

再由的任意性得到

错误是预先认定了极限的存在.

如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.

证由

（1）,令,得到

再由的任意性得到

于是推得

类似上述过程,不少书中直接写为:

“令,（4.1）式的左右两边分别趋于和.”由于的任意性可得

不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.

例4.2.2设,定义

（4.2）

试证.

证易得到.因而与存在,而且.

由此可得到,令则

故单调递减.在中取上限可得

所以有,故,因而存在,在中取极限,可得出