考研数学一笔记Word文件下载.docx

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=

五、求渐近线的步骤

⒈先求垂直渐近线：

⒉求水平渐近线：

⒊求斜渐近线：

〔时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在〕

六、极值点的来源：

①不可导点：

②驻点

七、需要考虑左右极限的情况

⒈式子中含有

⒉式子中含有

①

②不存在

⒊式子中含偶次方根

⒋式子中含有取整符号

⒌含有

⒍分段函数

导数

①判定在处是否可导

②利用导数的定义求极限〔罗比达法那么的替补〕

导数的应用

⑴分段函数的分段点；

⑵抽象函数：

⑶不满足求导法那么；

⑷求导函数太复杂。

③求导数

①分子一动一静

②分母有左有右

③上下同阶或低阶

可导条件

1.公式法

2.归纳法

3.莱布尼兹公式

求高阶导数

①写出Taylor展开式

②将f（x）间接展开

③利用对应系数相等

步骤

4.利用Taylor公式

中值定理

涉及的中值定理，即连续函数在闭区域[a,b]上的性质

⒈设在[a,b]上连续，那么

定理一〔有界性〕：

定理二〔最值定理〕：

，其中m，M分别是在[a，b]上的最小值与最大值。

定理三〔介值定理〕：

当时，其中m，M分别是在[a，b]上的最小值与最大值，使得

定理四〔零点定理〕：

当时，使得

⒉涉及导数的中值定理

定理五〔费马引理〕：

设在的某领域内有定义，且在处可导如果对任意的有〔或〕，那么。

补充一〔导数零点定理〕设在[a,b]内可导，且，那么,使得

定理六〔罗尔定理〕：

如果函数

⑴在闭区间上连续,

⑵在开区间内可导,

⑶且在区间端点的函数值相等，即,

那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零，即。

该定理的逆否命题：

假设在（a,b）内没有实根，即，那么在上至多只有一个实根。

推广：

假设在上没有实根，即，那么在上至多只有n个实根。

定理七〔拉格朗日中值定理〕：

⑴在闭区间上连续,

⑵在开区间内可导

那么在内至少有一点，使等式成立。

定理八〔柯西中值定理〕：

如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立。

定理九〔Taylor公式〕：

如果函数在含有的某个开区间内具有直到n+1阶的导数，那么对任意，有

这里的是介于与之间的某个值。

注：

Taylor公式常用于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：

①将在处展开成比高阶导数低一阶的Taylor展开式

②关键在于如何确定与，一般把题目中某点的函数及各阶导数值设为区间端点为，闭区间的中点有时也会用到

③对②得到的式子进行适当运算。

⒊涉及积分的中值定理

定理十〔积分中值定理〕设在上连续那么在上至少存在一点使得

推广一：

设在上连续那么使得

推广二〔第二积分中值定理〕：

设与在上连续，且在不变号，那么，使得

①逐项复原

②组合复原

③同乘因子

④求解微分方程

1）

2）

同乘以

1.构造辅助函数

两个模型

罗尔定

理考点

2.找端点值使得

经典不等式总结

⒈三角不等式：

设为实数那么

⑴

⑵

⑶

⑴离散情况：

设为实数，那么

⑵连续情况：

设在可积，那么

⒉均值不等式

⑴，

，

设是正整数，那么

⒊杨氏不等式：

设，那么

⒋柯西不等式：

⒌施瓦茨不等式：

假设在可积，且平方可积，那么

⒍其他不等式

⑴假设，那么

⑵

⑶

积分

1.有理函数积分

设有真分式，已被因式分解，假设分母中有一个一因子，那么分解式对应项为：

假设分母中有一个因子，那么分解式对应项为：

ex:

求积分的方法

①公式法

②分项积分法

③第一类换元

④第二类换元

⑤分部积分法

⑥万能代换

⑦区间再现

万能代换：

令，那么

区间再现：

在计算很多定积分和某些定积分证明时，有时需要互换积分限。

常见互换积分限为：

②

③

2.比拟广义积分的敛散性

比拟判别法的极限形式

⑴设函数都是在区间非负连续函数，假设，那么

当时，和同时收敛或同时发散；

当时，假设收敛，那么也收敛；

当时，假设发散，那么也发散。

⑵设函数都是在区非负连续函数，

，那么

时和同时收敛或同时发散。

多元函数

①求具体点的偏导数

②几何意义

③求偏导数

④高阶偏导数

⑤偏积分

偏导数

考点

微分

⒉

在可微

①偏导个数=自变量个数

②项数=中间变量个数

③分线相加，连线相减

④仍然是的函数

⑤抽象复合函数可以用表示

偏导数的结构

微分方程

⒈二阶线性微分方程特解的求法

令，那么；

于是

有如下重要性质〔注：

表示微分，表示积分〕

当时，

④

其中为1除以按升幂排列所得商式，其的最高次数为右边多项式的最高次数。

1除以的运算如下

1

其中

一阶线性微分方程组的解法

⒈齐次微分方程组

解题程序：

⑴引入微分算子那么①

⑵令，那么满足

求解〔或〕；

⑶将求出的代入方程①中的第一个方程，求出（或第二个方程求出〕

注：

求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法。

⑵非齐次微分方程组的解法

方程③的通解=对应的齐次方程①的通解+非齐次方程③的一个特解。

y

一个重要关系

o

x

其中表示极径与点切线间的夹角。

概率论

常用知识

分组

⒈有序分组

个元素分成共组，其个数分别为，那么分组方法的总数为

⒉无序分组

个元素分成个组，其中各组的元素为，各组的元素为个，…，各组的元素为个，那么分组方法的总数为

函数

⒈定义

⒉性质

①，

②为正整数时：

③

参数的置信区间

⒈

，置信区间为

⒉未知

参数的置信区间〔未知〕

微积分常用公式

=

导数局部

⒊

⒋

⒐

⒑

⒒

⒓

⒔

⒕

⒖

⒗

积分局部

9⒑

⒒

⒕

⒘

⒙

⒚

⒛

21.

22.

23.

，n为奇数

24.

，n为偶数

25.

26.