数学解题技巧：概率统计.doc
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第八讲概率统计
【考点透视】
1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
5．掌握离散型随机变量的分布列.
6．掌握离散型随机变量的期望与方差.
7．掌握抽样方法与总体分布的估计.
8．掌握正态分布与线性回归.
【例题解析】
考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
（1）等可能性事件（古典概型）的概率：
P（A）＝＝;
等可能事件概率的计算步骤：
①计算一次试验的基本事件总数;
②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;
③依公式求值;
④答，即给问题一个明确的答复.
（2）互斥事件有一个发生的概率：
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）;
特例：
对立事件的概率：
P（A）＋P（）＝P（A＋）＝1.
（3）相互独立事件同时发生的概率：
P（A·B）＝P（A）·P（B）;
特例：
独立重复试验的概率：
Pn（k）＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[（1-P）+P]n展开的第k+1项.
（4）解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
①求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．
[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
[解答过程]0.3提示:
例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．
[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]提示:
例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：
g）：
492496494495498497501502504496
497503506508507492496500501499
根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．
[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有
点评：
首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.
例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）
信号源
[考查目的]本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为
.
故填0.94.
例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（A） （B）（C） （D）
[考查目的]本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，所以选D.
点评：
本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.
例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：
“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：
“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
[解答过程]
（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故
于是．
解得（舍去）．
（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．
若该批产品共100件，由
（1）知其中二等品有件，故．
例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率
是（结果用分数表示）．
[考查目的]本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以,将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填.
例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.
（Ⅰ）若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.
由题意，得
所以,，
化简，得解得，或（舍去），
故.
例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
[解答过程]（Ⅰ）记表示事件：
“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：
“位顾客中无人采用一次性付款”．
，．
（Ⅱ）记表示事件：
“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：
“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：
“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
．
例10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：
考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：
在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
[考查目的]本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P（A）=a，P（B）＝b，P（C）=c.
（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P（A·B·）+P（·B·C）+P（A··C）+P（A·B·C）
=a×b×（1-c）+（1-a）×b×c+a×（1-b）×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P（A·B）+P（B·C）+P（A·C）=×（a×b+b×c+c×a）=（ab+bc+ca）
（Ⅱ）p1-p2=ab+bc+ca-2abc-（ab+bc+ca）=（ab+bc+ca-3abc）
≥=.
∴p1≥p2
例11．
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：
本小题结果可用分数表示）
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
[解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，，
该选手进入第四轮才被淘汰的概率．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
．
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.
…
…
P
P1
P2
…
…
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1），1，2，…;
（2）…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：
0
1
…
…
P
…
称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记：
.
（2）几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量的概率分布为：
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
…
…
例12．
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.
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