轴对称及轴对称图像资料Word文档格式.docx

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（4）线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2.轴对称的性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：

（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

）

3.线段的垂直平分线的性质及判定

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4.尺规作图

（1）如何作轴对称图形

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点

（2）作线段的垂直平分线

①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，②作直线CD。

CD就是线段AB的垂直平分线。

5.关于坐标轴对称的点的坐标特点

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

【典型例题】

例1. 

如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？

如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？

（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？

分析：

每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。

要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。

解：

不是。

有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

评析：

看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。

例2.如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（ 

）

①AD＝BD；

②AC＝BC；

③∠A＝∠B；

④∠ACD＝∠BCD；

⑤∠ADC＝∠BDC＝90°

A. 

2个 

B. 

3个 

C. 

4个 

D.5个

由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；

由垂直平分线的性质可得出②；

由△ADC≌△BDC可得到③和④。

D

掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。

例3.写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）关于x轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（－2，4），（0，－2）；

关于y轴对称的点的坐标分别为（2，3），（－1，－2），（2，－4），（0，2）。

点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；

点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：

（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围。

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）。

由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形，也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm，那么由长方形的总长可得0＜5x＜26，即得x的取值范围。

对于第二小题根据图形得AP＝BM＝26－5x，而AM＝AP＋PM，PM＝x。

（1）由折纸过程知：

0＜5x＜26，∴0＜x＜。

（2）∵图④是轴对称图形，

∴AM＝＋x＝13－x，即点M与点A的距离是（13－x）cm。

图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°

，由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。

例5.如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。

（1）画出点A关于直线l的对称点A'

；

（2）画出点B关于直线l的对称点B'

：

（3）连结A'

B'

，则线段A'

即为所求。

画已知图形关于某直线的对称图形：

①对称轴是对应点连线的垂直平分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？

在河岸l上找一点C，使AC＋BC最短，利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。

设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点，

（2）连结，交直线l于点C，

点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）

此类最小值问题解决的方法是：

作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。

依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。

【方法总结】

本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。

在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。

在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。

【模拟试题】

（答题时间：

40分钟）

一、选择题

1.下列说法错误的是 

（ 

A.关于某直线对称的两个图形一定能完全重合

B.全等的两个三角形一定关于某直线对称

C.轴对称图形的对称轴至少有一条

D.线段是轴对称图形

2.轴对称图形的对称轴是 

A.直线 

B.线段 

C.射线 

D.以上都有可能

3.下面各组点关于y轴对称的是 

A.（0，10）与（0，－10） 

B.（－3，－2）与（3，－2）

C.（－3，－2）与（3，2） 

D.（－3，－2）与（－3，2）

*4.下列图形中，不是轴对称图形的是（ 

A.一条线段 

B.两条相交直线

C.有公共端点的两条相等的线段 

D.有公共端点的两条不相等的线段

5.（2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'

C'

关于直线l对称，则∠B的度数为 

A.30°

B.50°

C.90°

D.100°

6.（2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是 

*7.（2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°

，则∠AFE＋∠BCD的大小是 

A.150°

B.300°

C.210°

D.330°

**8.（2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°

，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

小明用下面的方法作P的对称点：

先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，。

若与P重合，则n的最小值是 

A.5 

B.6 

C.7 

D.8

二、填空题

9.（2006年宜昌）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是__________。

10.如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出：

（1）两组对应点__________和__________；

（2）两组对应线段__________和__________；

（3）两组对应角__________和__________。

11. 

点A（－5，－6）与点B（5，－6）关于__________对称。

*12.（2007年四川内江）已知点A（m－1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称，则m＝__________，n＝__________。

三、解答题

13.画出下列各图形的所有对称轴。

14.如图所示，作出△ABC关于直线l的对称三角形A'

。

**15.

（1）回答问题：

①到线段两端点的距离相等的点在________