轴对称及轴对称图像资料Word文档格式.docx
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(4)线段的垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
2.轴对称的性质:
(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。
轴对称图形的性质:
(轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
)
3.线段的垂直平分线的性质及判定
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如图①,若PC是线段AB的垂直平分线(AC=BC,PC⊥AB),则PA=PB
(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
如图②,若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。
4.尺规作图
(1)如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形;
对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形。
所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点
(2)作线段的垂直平分线
①分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于C、D两点,②作直线CD。
CD就是线段AB的垂直平分线。
5.关于坐标轴对称的点的坐标特点
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(_____,_____);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(_____,_____)。
【典型例题】
例1.
如图是由两个等边三角形组成的图形,它是轴对称图形吗?
如果不是,请移动其中一个三角形,使它与另一个三角形一起组成轴对称图形,有几种移法?
(至少画四种,相同类型的算一种),怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴?
分析:
每个等边三角形都是轴对称图形,都有三条对称轴。
要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形,则它们至少有一条对称轴重合,要使组合后的图形的对称轴尽可能多,则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。
解:
不是。
有以下几种移动方法(如图所示),其中,第3个图的对称轴最多。
评析:
看似没有规律的题目,其实往往蕴含着规律,我们要善于发现其中的内在规律,这样解题才不盲目。
例2.如图所示,C是线段AB的垂直平分线上的一点,垂足为D,则下列结论中正确的有(
)
①AD=BD;
②AC=BC;
③∠A=∠B;
④∠ACD=∠BCD;
⑤∠ADC=∠BDC=90°
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.5个
由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤;
由垂直平分线的性质可得出②;
由△ADC≌△BDC可得到③和④。
D
掌握线段垂直平分线的性质,能提供线段相等的思路,用于证明全等等其它问题。
例3.写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。
(-2,3),(1,-2),(-2,-4),(0,2)。
求已知点关于坐标轴的对称点时,要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。
(-2,3),(1,-2),(-2,-4),(0,2)关于x轴对称的点的坐标分别为(-2,-3),(1,2),(-2,4),(0,-2);
关于y轴对称的点的坐标分别为(2,3),(-1,-2),(2,-4),(0,2)。
点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数;
点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变。
例4.(2007年烟台)生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题:
(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围。
(2)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)。
由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形,最后两端交叉处重叠了两个正方形,也就是说在这次折叠中总计有五个正方形,而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm,那么由长方形的总长可得0<5x<26,即得x的取值范围。
对于第二小题根据图形得AP=BM=26-5x,而AM=AP+PM,PM=x。
(1)由折纸过程知:
0<5x<26,∴0<x<。
(2)∵图④是轴对称图形,
∴AM=+x=13-x,即点M与点A的距离是(13-x)cm。
图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用,并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质,本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°
,由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。
例5.如图所示,已知线段AB,画出线段AB关于直线l的对称图形。
如果图形是由直线、射线或线段组成时,只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点,然后连结对称点,就可以画出对称图形。
(1)画出点A关于直线l的对称点A'
;
(2)画出点B关于直线l的对称点B'
:
(3)连结A'
B'
,则线段A'
即为所求。
画已知图形关于某直线的对称图形:
①对称轴是对应点连线的垂直平分线,②若对应线段或延长线相交,则交点一定在对称轴上。
例6.要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水(如图)。
修在河边什么地方,可使所用水管最短?
在河岸l上找一点C,使AC+BC最短,利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧,而不改变路径的总长度,从而利用“两点之间,线段最短”使问题得到解决。
设张村为点A,李庄为点B,张村和李庄这一侧的河岸为直线l。
(1)作点B关于直线l的对称点,
(2)连结,交直线l于点C,
点C就是所求的水泵站的位置。
(如图所示)
此类最小值问题解决的方法是:
作出其中某一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点的连线的交点,即是所求作的点。
依据是利用垂直平分线性质转移线段,利用两点之间线段最短得最短距离。
【方法总结】
本节从生活中的图形入手,学习图形的对称及其基本性质,欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。
在此基础上,利用对称探索几何图形的性质,培养空间理解能力。
在解决实际问题时,要看透其中所包含的几何问题,把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。
【模拟试题】
(答题时间:
40分钟)
一、选择题
1.下列说法错误的是
(
A.关于某直线对称的两个图形一定能完全重合
B.全等的两个三角形一定关于某直线对称
C.轴对称图形的对称轴至少有一条
D.线段是轴对称图形
2.轴对称图形的对称轴是
A.直线
B.线段
C.射线
D.以上都有可能
3.下面各组点关于y轴对称的是
A.(0,10)与(0,-10)
B.(-3,-2)与(3,-2)
C.(-3,-2)与(3,2)
D.(-3,-2)与(-3,2)
*4.下列图形中,不是轴对称图形的是(
A.一条线段
B.两条相交直线
C.有公共端点的两条相等的线段
D.有公共端点的两条不相等的线段
5.(2007年河南)如图,ΔABC与ΔA'
C'
关于直线l对称,则∠B的度数为
A.30°
B.50°
C.90°
D.100°
6.(2008年江苏苏州)下列图形中,是轴对称图形的是
*7.(2008年武汉)如图,六边形ABCDEF是轴对称图形,CF所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+∠BCF=150°
,则∠AFE+∠BCD的大小是
A.150°
B.300°
C.210°
D.330°
**8.(2008年全国数学竞赛浙江预赛)如图,直线l1与直线l2相交,∠α=60°
,点P在∠α内(不在l1,l2上)。
小明用下面的方法作P的对称点:
先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2,然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3,以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4,……,如此继续,得到一系列点P1,P2,P3,…,。
若与P重合,则n的最小值是
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题
9.(2006年宜昌)从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是,该车牌的后5位号码实际是__________。
10.如图所示,是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案,请根据图形写出:
(1)两组对应点__________和__________;
(2)两组对应线段__________和__________;
(3)两组对应角__________和__________。
11.
点A(-5,-6)与点B(5,-6)关于__________对称。
*12.(2007年四川内江)已知点A(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称,则m=__________,n=__________。
三、解答题
13.画出下列各图形的所有对称轴。
14.如图所示,作出△ABC关于直线l的对称三角形A'
。
**15.
(1)回答问题:
①到线段两端点的距离相等的点在________