平面与平面平行高中数学知识点讲解含答案Word文件下载.docx

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A．①③B．①④C．②③D．②④

4．（2016秋•西城区校级期中）已知夹在两平行平面、内的两条斜线段，，和在内的射影的比为，则、的距离为　　

A．B．C．D．

5．（2013秋•朝阳区期末）已知两平行平面与之间的距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是　　

A．一组平行线B．一条抛物线C．两段圆弧D．四个点

6．（2013秋•东城区期末）、是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是　　

A．、都平行于直线、

B．内有三个不共线的点到的距离相等

C．、是内的两条直线且，

D．、是两条异面直线且，，，

二．填空题（共3小题）

7．（2017秋•海淀区校级期中）棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为　　．

8．（2014秋•大兴区校级期中）面面平行的向量方法：

证明这两个平面　　的是　　．

面面平行的判定定理：

文字语言：

　　，符号语言：

　　．

9．（2008秋•昌平区期末）已知、是两条不重合的直线，、、是三个两两不重合的平面，给出

①若，，则；

②若，，则；

③若，，，则；

④若、是异面直线，，，，，则

上面四个命题中，其中真命题有　　．

三．解答题（共3小题）

10．（2019•西城区校级模拟）如图，在四棱锥中，，，平面，，．设，分别为，的中点．

（1）求证：

平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

11．（2019•房山区二模）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）求证：

平面．

12．（2017秋•东城区校级月考）在正方体中，求证：

平面平面．

参考答案与试题解析

【分析】由空间直线与平面，平面与平面的平行关系判断每一选项可得答案，

【解答】解：

、平面平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面；

因为有可能在内；

故错误；

、平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面，由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行，故正确；

、一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，由面面平行的判定可知语句正确；

、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线；

由面面平行的性质可知语句正确；

故选：

．

【点评】本题考查空间线面，面面平行关系，判定定理和性质定理，属于基础题．

【分析】由为底面的中心，是的中点，得，当点在的中点位置时，四边形是平行四边形，从而，由此推导出平面平面．

在正方体中，

为底面的中心，是的中点，

，

设是上的点，当点在的中点位置时，

，四边形是平行四边形，

，，

、平面，、平面，

【点评】本题考查满足面面平行的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

【分析】由，，得，从而平面，平面；

由，与平面相交，从而与平面相交，进而平面与平面相交．

在正方体中，，，分别是，，的中点，

，，，

平面，平面，平面，故①正确；

，与平面相交，与平面相交，故②错误；

，，分别是，，的中点，

，平面，平面，

平面，故③正确；

与平面相交，平面与平面相交，故④错误．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

【分析】设、间的距离为，由夹在两平行平面、内的两条斜线段，，和在内的射影长的比为，列出方程能求出、的距离．

设、间的距离为，则

夹在两平行平面、内的两条斜线段，，

和在内的射影长的比为，

解得．

【点评】本题考查两个平面间的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

【分析】设满足条件的点为，过点做平面的垂线，则：

．为平面上以垂足为圆心，半径的圆上的点，由此能求出同时满足到点的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹为：

与圆的四个交点．

设满足条件的点为，

过点做平面的垂线，则：

平面内一点到点的距离为，，

，即：

为平面上以垂足为圆心，半径的圆上，

过垂足做直线平行于直线，

则直线间距离，

在平面内做直线使得到的距离，

设平面内直线、距离为，

则有：

，解得，

即平面内直线、距离为，

所以，同时满足到点的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹为：

【点评】本题考查点的轨迹的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

【分析】、、列举反例：

当，；

当，且在内同侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等；

当与平行；

先判断内存在两条相交直线与平面平行，再根据面面平行的判定，即可得到结论．

对于，当，时，不能推出；

对于，当，且在内同侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出；

对于，当与平行时，不能推出；

对于，，是两条异面直线，且，，，，内存在两条相交直线与平面平行，根据面面平行的判定，可得，

【点评】本题考查面面平行的判定，解题时，不正确的结论列举反例，正确的结论要给出充分的理由．

【分析】过点的平面，截正方体所得平面为正六边形，可得其周长．

如图，，，，，分别为棱，，，，的中点，则，故四点共面，同理四点共面．

因为，，，所以平面平面，

又因为的中点为正方体的中心，的中点也是正方体的中心设正方体中心为，则，，平面，所以平面即为平面，

根据三角形的中位线的性质可得，六边形每条边的长度都等于正方体表面对角线的一半，即每边长都等于，故六边形的周长为：

故填：

【点评】本题的难点在如何找到平面，考察了空间想象能力，属于难题．

证明这两个平面　法向量　的是　　．

【分析】面面平行的向量方法是：

若两个平面平行，则他们的法向量共线；

面面平行的判定定理是：

如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号表示后可得答案．

若两个平面平行，则他们的法向量共线，

故面面平行的向量方法：

证明这两个平面的法向量是共线向量，

如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，

用符号语言表示：

故答案为：

法向量，共线向量，如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，

【点评】本题考查的知识点是平面与平面平行的判定方法，熟练掌握几何法和向量法判断平面平行的方法及符号表示是解答的关键．

上面四个命题中，其中真命题有　①和④　．

【分析】利用直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，对选项逐一判断即可．

垂直同一条直线的两个平面平行，正确．

可能平面和相交，不正确．

④若、是异面直线，，，，，则，满足两个平面平行的判断，正确．

①④

【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查学生灵活运用知识的能力，是基础题．

【分析】

（1）推导出，从而平面，再推导出，从而平面，由此能证明平面平面．

（2）点到平面的距离等于点到平面的距离，三棱锥的体积，由此能求出结果．

【解答】证明：

（1），分别为，的中点，

又平面，平面，

在中，，，．

又，．

平面，平面，平面．

又，平面平面．（6分）

解：

（2）由

（1）知，平面平面，

点到平面的距离等于点到平面的距离．

由已知，，，，，

三棱锥的体积：

．（12分）

【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

（Ⅰ）根据题意知，，利用平面与平面平行的判定定理得出平面平面；

（Ⅱ）根据题意证明为平行四边形，得出，从而证明平面；

（Ⅲ）根据题意证明平面，得出，再证明为正方形，得出，从而证明平面．

（Ⅰ）因为正方形和矩形，

所以，，（2分）

又，，平面，，平面，

所以平面平面；

（4分）

（Ⅱ）设，连结，

因为正方形，所以为中点，

又矩形，为的中点，