年全国初中数学联赛试题及答案修正版.doc

年全国初中数学联赛试题及答案修正版.doc

《年全国初中数学联赛试题及答案修正版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《年全国初中数学联赛试题及答案修正版.doc（4页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.实数a、b满足ab＝1，记M＝＋，N＝＋，则的关系为[]

A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．不确定

2.设正整数a、m、n满足＝，则这样的a、m、n的取值[]

A．有一组 B．有二组C．多于二组 D．不存在

O

A

B

C

3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA＝2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 []

（A） （B）

（C） （D）

4．设x₁、x₂是二次方程x2＋x－3＝0的两个根，那么x₁3－4x₂2＋19的值等于[]

A．－4 B．8 C．6 D．0

5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[]

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[]

A．4个 B．8个C．12个 D．24个

二、填空题

M

N

A

B

C

1.已知实数x₀、y₀是方程组的解，则x₀＋y₀＝______．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABN＝∠MBC，BM＝NM，

BN＝a，则N点到边BC的距离等于______．

3．设1995x3＝1996y3＝1997z3，xyz＞0，且

，则＋＋＝______．

A

B

C

D

D′

B′

C′

4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

第二试

1.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是（m·n＋9m＋11n＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

O

M

P

A

B

C

D

E

F

2.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：

∠OPF＝∠OEP．

3.已知a、b、c都是正整数，且抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a＋b＋c的最小值．

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1．B 2．A 3．B4．D 5．A 6．C

二、填空题

1.2.3.14.2－

第二试

1.据题意m＋11＝n＋9，且整除mn＋9m＋11n＋145，

而mn＋9m＋11n＋145＝（m＋11）（n＋9）＋46，故m＋11，n＋9都整除46，由此得

①或②

在①时，得每人捐款25元；在②时，每人捐款47元

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

2.作AD、BO的延长线相交于G，∵OE∥GA，

∴在△CGA中有＝，

且在△BGA中＝，由此可得＝，

而OM是⊙O的半径，等于OP，∴＝，∴△POF∽△POE，

G

O

P

M

A

B

C

D

E

F

∴∠OPF＝∠OEP

3.据题意，方程ax3＋bx＋c＝0有两个相异根，都在（－1，0）中，故

a－b＋c＞0,＜1，且b2－4ac＞0①，可见a－b＋c≥1②，且a＞c③

所以a＋c≥b＋1＞2＋1，可得（）2＞1，由③得＞＋1

∴a＞4,又b＞2≥2＞4现分别取a、b、c的最小整数5,5,1

经检验，符合题意，∴a＋b＋c＝11最小．