含绝对值不等式的解法(含答案).doc

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含绝对值的不等式的解法

一、基本解法与思想

解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：

即利用与的解集求解。

主要知识：

1、绝对值的几何意义：

是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上，两点间的距离.。

2、与型的不等式的解法。

当时，不等式的解集是

不等式的解集是;

当时，不等式的解集是

不等式的解集是;

3．与型的不等式的解法。

把看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解。

当时，不等式的解集是

不等式的解集是;

当时，不等式的解集是

不等式的解集是;

例1解不等式

分析:

这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“”

看着一个整体。

答案为。

（解略）

（二）、定义法:

即利用去掉绝对值再解。

例2。

解不等式。

分析:

由绝对值的意义知，a≥0，a≤0。

解:

原不等式等价于＜0x（x+2）＜0-2＜x＜0。

（三）、平方法:

解型不等式。

例3、解不等式。

解:

原不等式

（2x-3+x-1）（2x-3-x+1）<0（3x-4）（x-2）<0。

说明:

求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。

二、分类讨论法：

即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4解不等式。

分析:

由，，得和。

和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

解:

当x＜-2时，得， 解得：

当-2≤x≤1时，得， 解得：

当时，得 解得：

综上，原不等式的解集为。

说明:

（1）原不等式的解集应为各种情况的并集;

（2）这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。

三、几何法：

即转化为几何知识求解。

例5对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）

（A）k<3 （B）k<-3 （C）k≤3 （D） k≤-3

分析:

设，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是，于是题转化为求的最小值。

解:

、的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离-的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。

四、典型题型

1、解关于的不等式

解：

原不等式等价于，

即

∴原不等式的解集为

2、解关于的不等式

解：

原不等式等价于

3、解关于的不等式

解：

原不等式可化为

∴

即

解得：

∴原不等式的解集为

4、解关于的不等式

解：

⑴当时，即，因，故原不等式的解集是空集。

⑵当时，即，原不等式等价于

解得：

综上，当时，原不等式解集为空集;当时，不等式解集为

5、解关于的不等式

解：

当时，得，无解

当，得，解得：

当时，得，解得：

综上所述，原不等式的解集为，

6、解关于的不等式

（答案：

）

解：

五、巩固练习

1、设函数＝;若，则的取值范围是.

2、已知，若关于的方程有实根，则的取值范围

是．

3、不等式的实数解为．

4、解下列不等式

⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹（）

5、若不等式的解集为，则实数等于（）

6、若，则的解集是（）

且且

7、对任意实数，恒成立，则的取值范围是；

对任意实数，恒成立，则的取值范围是；

若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是；

8、不等式的解集为（）

9、解不等式：

10、方程的解集为，不等式的解集是；

12、不等式的解集是（）

11、不等式的解集是

12、已知不等式的解集为，求的值

13、解关于的不等式：

①解关于的不等式；②

14、不等式的解集为（）.

15、设集合，，则等于（）

16、不等式的解集是．

17、设全集，解关于的不等式：

（参考答案）

1、6；；2、

3、

4、⑴⑵⑶⑷⑸

⑹当时，；当时，不等式的解集为

5、C6、D7、⑴；⑵；⑶；

8、C9、10、；

11、D12、15

13、①当时，；当时，；当时，

②当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

14、D15、B16、，

17、当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

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