高考数学一轮复习 课标通用 第六章数列61数列的概念与简单表示学案理Word下载.docx

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如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

（1）序号n　an＝f（n）

4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝

S1　Sn－Sn－1

（1）[教材习题改编]已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：

①an＝；

②an＝；

③an＝sin2；

④an＝；

⑤an＝

⑥an＝＋（n－1）（n－2）．

其中可以作为数列{an}的通项公式的有________．（写出所有正确结论的序号）

①③④

（2）[教材习题改编]已知{an}满足an＝＋1（n≥2）,a7＝，则a5＝__________.

解析：

由递推公式，得a7＝＋1，a6＝＋1，则a5＝.

[典题1]　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）－1,7，－13,19，…；

（2），，，，，…；

（3），2，，8，，…；

（4）5,55,555,5555，….

[解]　

（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）．

（2）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×

3,3×

5,5×

7,7×

9,9×

11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an＝.

（3）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝.

（4）将原数列改写为×

9，×

99，×

999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝（10n－1）．

[点石成金]　由数列的前几项求数列通项公式的策略

（1）根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等．

（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（－1）n或（－1）n＋1来调整．

考点2　由递推公式求通项公式

1.函数的概念的两个易混点：

项an；

项数n.

（1）已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的第5项是__________．

由数列{an}的通项公式为an＝，得a5＝＝＝，即数列{an}的第5项是.

（2）已知数列，，2，，…，则2是该数列的第__________项．

7

由题意可知，该数列可以表示为，，，，…，故2＝是该数列的第7项．

2．数列的两种表示方法：

通项公式；

递推公式．

（1）已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋，且a2＝，a4＝，则a8＝__________.

由已知得解得则an＝n＋，故a8＝.

（2）已知非零数列{an}的递推公式为an＝·

an－1（n＞1），且a1＝1，则a4＝__________.

4

依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2a1；

当n＝3时，a3＝a2＝3a1；

当n＝4时，a4＝a3＝4a1＝4.

求解数列通项公式的两种方法：

待定系数法；

递推法．

（1）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－10n＋17，则数列{an}中使an<

0的n构成的集合为________．

{3,4,5,6,7}

由an＝n2－10n＋17<

0，得（n－5）2<

8，n∈N*，满足该不等式的n的值为3,4,5,6,7，所以所求的集合为{3,4,5,6,7}．

（2）已知数列{an}中，a1＝1，an＋an－1＝1（n≥2），则数列{an}的一个通项公式为__________．

an＝或an＝sin　

由an＋an－1＝1（n≥2），得a2＝0.又an＋1＋an＝1，结合an＋an－1＝1（n≥2），得an＋1＝an－1（n≥2），即该数列的奇数项相等、偶数项相等，

所以通项公式为an＝或an＝sin.

[典题2]　

（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________．

[答案]　an＝2·

3n－1－1

[解析]　∵an＋1＝3an＋2，

∴an＋1＋1＝3（an＋1），

∴＝3，

∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，

又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·

3n－1，

∴an＝2·

3n－1－1.

（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1（n≥2），则数列{an}的通项公式为________．

[答案]　

[解析]　解法一：

an＝an－1（n≥2），所以an－1＝·

an－2，…，a2＝a1，以上（n－1）个式子的等号两端分别相乘得an＝a1·

·

…·

＝＝.

解法二：

an＝·

a1＝·

1＝.

[点石成金]　由递推关系式求通项公式的常用方法

（1）已知a1且an－an－1＝f（n），可用“累加法”求an.

（2）已知a1且＝f（n），可用“累乘法”求an.

（3）已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q（an＋k）（其中k可由待定系数法确定），可转化为等比数列{an＋k}．

（4）形如an＋1＝（A，B，C为常数）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．

（5）形如an＋1＋an＝f（n）的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f（n＋1），两式相减即得an＋2－an＝f（n＋1）－f（n），然后按奇偶分类讨论即可.

1.[2017·

安徽合肥一模]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝________.

3×

2n－1－2

由an＋2＋2an＝3an＋1，得

an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），

∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×

2n－1，

∴当n≥2时，

an－an－1＝3×

2n－2，…，a3－a2＝3×

2，a2－a1＝3，

将以上各式累加，得

an－a1＝3×

2n－2＋…＋3×

2＋3＝3（2n－1－1），

∴an＝3×

2n－1－2（当n＝1时，也满足）．

2．在数列{an}中，a1＝1，Sn＝an，则an＝________.

由题设知，a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1.

∴＝，

∴＝，…，＝，＝，＝3.

以上（n－1）个式子的等号两端分别相乘，得到

＝，又∵a1＝1，∴an＝.

考点3　an与Sn关系的应用

[考情聚焦]　an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．

主要有以下几个命题角度：

角度一

利用an与Sn的关系求an

[典题3]　

（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.

[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[（n－1）2＋1]＝2n－1.

故an＝

（2）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.

[答案]　（－2）n－1

[解析]　由Sn＝an＋，得

当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，

两式相减，得an＝an－an－1，

∴an＝－2an－1，即＝－2，

故当n≥2时，an＝（－2）n－1.

又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，满足上式．

∴an＝（－2）n－1.

[点石成金]　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，若a1适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；

当n＝1时，若a1不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

角度二

利用an与Sn的关系求Sn

[典题4]　

（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝（　　）

A．2n－1B.n－1

C.n－1D.

[答案]　B

[解析]　由已知Sn＝2an＋1，得

Sn＝2（Sn＋1－Sn），

即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，

所以Sn＝n－1.

（2）[2017·

湖南株洲模拟]设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：

4Sn＝（an＋1）2（n＝1,2,3，…），则Sn＝________.

[答案]　n2

[解析]　由题意可知，Sn＝2，

当n＝1时，a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2

＝·

＝＋，

整理得，＝⇒an－an－1＝2，

所以an＝2n－1，所以Sn＝＝n2.

[点石成金]　解决此类问题通常利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）将已知关系转化为Sn与Sn－1的关系式，然后求解．

考点4　数列的单调性及应用

[典题5]　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设cn＝a·

bn，证明：

当且仅当n≥3时，cn＋1＜cn.

（1）[解]　当n＝1时，a1＝S1＝4.

对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n（n＋1）－2（n－1）n＝4n.

当n＝1时，适合上式．

所以{an}的通项公式为an＝4n.

将n＝1代入Tn＝2－bn，得T1＝2－b1，

又T1＝b1，故T1＝b1＝1.

（求bn解法一）对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，

得bn＝Tn－Tn－1＝－（bn－bn－1），

bn＝bn－1，所以bn＝21－n.

（求bn解法二）对于n≥2，由Tn＝2－bn，得

Tn＝2－（Tn－Tn－1），

2Tn＝2＋Tn－1，

Tn－2＝（Tn－1－2），

Tn－2＝21－n（T1－2）＝－21－n，

Tn＝2－21－n，

bn＝Tn－Tn－1＝（2－21－n）－（2－22－n）＝21－n.

（2）[证明]　由cn＝a·

bn＝n225－n，得

cn＋1－cn＝24－n[（n＋1）2－2n2]＝24－n[－（n－1）2＋2]．

当且仅当