圆锥曲线求圆锥曲线方程Word文档格式.docx
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(4)双曲线:
实轴长,焦半径差的绝对值;
虚轴长;
注:
在椭圆和双曲线中,很多几何性质也围绕着展开,通过这些条件也可以求出的值,从而确定曲线方程。
例如(椭圆与双曲线共有的):
离心率:
;
通径(焦点弦长的最小值):
等
(5)抛物线:
焦准距
3、待定系数法中方程的形式:
(1)直线与曲线方程通式:
①直线:
,
②圆:
③椭圆:
标准方程:
(或,视焦点所在轴来决定)
椭圆方程通式:
④双曲线:
(或,视焦点所在轴决定)
双曲线方程通式:
⑤抛物线:
抛物线方程通式:
(2)曲线系方程:
具有一类特征的曲线的集合,通常曲线方程中含有参数。
曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程,则将问题转化为利用条件求解参数,让解题目标更为明确,曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。
常见的曲线系方程如下:
①过相交直线的交点的直线系方程为:
即(其中为参数)
②与直线平行的直线系方程为:
(其中为参数)
③与直线垂直的直线系方程为:
④过相交两圆交点的圆系方程为:
即
⑤若直线与圆有公共点,则过公共点的圆系方程为:
⑥相同渐进线的双曲线系方程:
与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为:
二、典型例题:
例1:
已知椭圆的长轴长为4,若点是椭圆上任意一点,过原点的直线与椭圆相交于两点,记直线的斜率分别为,且,则椭圆的方程为()
A.B.C.D.
思路:
由已知可得,所以只需利用条件求出的值即可,设,,则。
则,从而,由分子分母平方差的特点及在椭圆上联想到点差法,得:
,所以
即,所以椭圆方程为
答案:
D
例2:
椭圆的右焦点为,右顶点,上顶点分别为,且
(1)求椭圆的离心率
(2)若斜率为的直线过点,且交椭圆于两点,,求直线的方程及椭圆的方程
解:
(1)由椭圆方程可得:
(2)由
(1)可得椭圆方程为:
由已知可得,直线的方程为
联立方程:
,消去可得:
,即:
,解得:
经检验:
当,满足直线与椭圆有两个交点,所以符合条件
椭圆方程为
例3:
已知直线,椭圆,
(1)若无论为何值,直线与椭圆均有公共点,试求的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式
(2)当时,直线与椭圆相交于两点,与轴交于点,若,求椭圆的方程
(1)由可知直线过定点
与恒有公共点
在椭圆上或椭圆内
的范围为
若,则
综上所述:
(2)由已知可得:
设
联立直线与椭圆方程可得:
,整理后可得:
可得:
,即,解得:
或(舍)
例4:
过点,向椭圆引两条切线,切点分别为,且为正三角形,则最大时椭圆的方程为()
由题意可知本题确定值的关键在于达到最大值时,的取值,那么需要得到关于的关系(等式或不等式),作出图形可知,若为正三角形,则的斜率为,进而能够得到的方程。
以为例:
,与椭圆方程联立并消元可得到:
,所以,则考虑利用均值不等式得到,等号成立条件为,再结合即可求出的值,从而确定椭圆方程
依图可知:
的方程为:
,联立方程:
,消去:
与椭圆相切
由均值不等式可得:
(等号成立条件为:
)
的最大值为,此时
椭圆方程为:
例5:
已知点是椭圆的右焦点,是椭圆短轴的两个端点,且是正三角形
(2)直线与以为直径的圆相切,并且被椭圆截得的弦长的最大值为,求椭圆的标准方程
(1)设椭圆标准方程为,焦距为,由是正三角形
,因为
解得:
(2)由
(1)可得椭圆的方程为:
设与椭圆的交点为
若斜率不存在,可得弦长
若斜率存在,设,联立方程:
,整理可得:
与圆相切
,代入到上式可得:
(等号成立条件:
例6:
设椭圆的方程为,点为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为
(1)求的离心率
(2)设点的坐标为,为线段的中点,点关于直线的对称点的纵坐标为,求的方程
解
(1)由在线段上和可得:
(2)由
(1)中,可设
由可得:
,设的对称点
依题意可得:
可解得:
例7:
已知椭圆的半焦距为,原点到经过两点的直线的距离为
(2)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过两点,求椭圆的方程
(1)过的直线的方程为:
,由可得:
(2)由
(1)可得:
由圆方程可得:
设,联立方程:
消去可得:
例8:
已知双曲线的两个焦点为,其中一条渐近线方程为,为双曲线上一点,且满足,若成等比数列,则双曲线的方程为__________
成等比数列
由渐近线方程可知:
,不妨设在右支上
由中线定理可知:
由可知双曲线方程为:
小炼有话说:
中线定理:
已知为中底边的中线,则有,证明如下:
在中,由余弦定理可知:
①
同理,在中,有:
②
且由是中点可知:
,即
例9:
(2014,福建)已知双曲线的两条渐近线分别为,
(1)求双曲线的离心率
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一、四象限),且的面积恒为8,试探究:
是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?
若存在,求出双曲线的方程;
若不存在请说明理由
(1)由双曲线方程可知,渐近线方程为
(2)若直线不与轴垂直,设
,同理可得
设直线与轴交于
由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知:
由
(1)可得双曲线方程为:
联立与双曲线方程:
因为与双曲线相切
整理可得:
所以双曲线方程为:
存在一个总与相切的双曲线,其方程为
例10:
已知分别为曲线与轴的左,右两个交点,直线过点且与轴垂直,为上异于点的点,且在第一象限,连结与曲线交于点
(1)若曲线为圆,且,求弦的长
(2)设是以为直径的圆与线段的交点,若三点共线,求曲线的方程
(1)若曲线为圆,则可知
的方程:
,设直线
可知该方程的两根为:
,由韦达定理可得:
共线,且为圆的直径
,即解得:
曲线的方程: