双等腰三角形教师版.docx

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双等腰三角形教师版

双等腰三角形

等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？

共腰双等腰

首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。

共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。

模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：

∠BAD=2∠EDC。

∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，

∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，

其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，

那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，

那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，

∴∠BAD=2∠EDC。

模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：

AD=AE。

②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：

AB=AC。

模型二、如图，AB=AC=AD，求证：

（1）∠CAD=2∠CBD；

（2）∠BAC=2∠BDC。

∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，

∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，

其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，

那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，

那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，

∴∠CAD=2∠CBD。

同理可证，∠BAC=2∠BDC。

模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：

AB=AD。

②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：

AB=AC。

模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？

模型三、如图，AB=AC=AD，求证：

（1）∠CAD=2∠CBD；

（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。

∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，

∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，

其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，

那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β+α，

那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=2β+2α，

∴∠CAD=2∠CBD。

同理可证∠BAC=2∠BDC；∠BAD=2∠BCD。

模型二与模型三都可以看成点A为△BCD的外心。

模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？

模型四、如图，等腰△ABC中，AB=AC，等腰△DEF中，DE=DF，图中AB与DE共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角，

通过前面的方法可证∠CPF=2∠FQC。

典型例题赏析

例1：

如图，Rt△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC边上一点，连接AD、DE，若∠BAD=2∠CDE，CD=4，AE=，求AC的长。

例1解析：

由AB=AC和∠BAD=2∠CDE，可得AD=AE=，

解△ACD，可得AC=。

例2：

如图，正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，连接HF，若CH=3AH，请你探究HF与AF之间的数量关系.

例2解析：

由BG是直角三角形ABE的斜边中线，得BG=AG，

由正方形ABCD，得∠BAC=45°，题中已知∠BGH=90°得∠BGH=2∠BAH，

由模型二的变式可得GH=GB，为接下来固定图形起到了至关重要的作用，

设AH=k，CH=3k，BC=k，连接BH，得BH=k，由△GBH为等腰直角三角形，得GB=GH=k，AE=2BG=k，AB=k，得BE=k，由△ADF≌△ABE，DF=BE=k，AF=k，CF=k，解△CFH，得FH=k，得AF=FH.

例3：

如图，在菱形ABCD的对角线AC上取点E，连接BE，使∠BEC=60°，在CD边上取点F，连接EF，且∠CEF=∠ABE，若CF=4，CE=16，求AE的长.

例3解析：

本题由菱形构成，菱形四条边相等，所以不缺少等腰三角形，但是∠CEF=∠ABE这个条件不知如何使用。

连接DE，△ABE≌△ADE，∠ABE=∠ADE，由DA=DC，∠CEF=∠ADE，得DE=DF，设EO=k，BE=2k，DE=DF=2k，DC=BC=2k+4，CO=16-k，BO=k，勾股△BOC，得k=5，AE=6。

例4：

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为.

（1）求抛物线解析式；

（2）P为线段OA上一点（不与O、A重合），过P作PQ⊥x轴交抛物线于Q，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系；

（3）在

（2）的条件下，连接QN并延长交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE.

例4解析：

有已知可容易得

（1）答案。

（2）∠BAO=∠NMP，MA=MP，得MN=MP，得△NMP为等腰直角三角形，过M作x轴的垂线，过N作y轴的垂线，可得△NFM≌△MGP，设点P（t，0）,Q（t，），由M为AQ中点，MG=，NF=MG=，所以=OG-NF=。

（3）MN=MP=MQ，得∠NQP=∠NMP=45°，∠NHQ=∠AHP=45°，得∠QNH=90°，得EQ⊥AB，MN∥AE，由M为AQ的中点，得N为EQ的中点，得AN垂直平分EQ，得AQ=AE，∠EAO=∠AEB-90°=（45°+∠AEQ）-90°=∠AEQ-45°又∵∠AQP=∠AQE-45°，∴∠EAO=∠AQP，∠EOA=∠QPA=90°，△APQ≌△OEA，AO=PQ=3，由Q（t，），得，（舍），。

强化训练习题

1、如图：

在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC边上一点，且AD=AE，∠BAD=68°，求∠CDE的度数.

2、如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，D、E分别在CB、AB的延长线上，连接AD、DE，且∠E=∠ADE，若∠BDE=50°，求∠DAC的度数.

3、如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线交AB于点F，垂足为E，D为EF上一点，连接AD、BD、CD，若△ACD为等边三角形，EF=2，求BF的长.

4、如图，在四边形ABDC中，连接AD、BC，AB=BC=BD，∠DAC的正切值为，若AB=5，求CD的长.

5、如图，在菱形ABCD中，tan∠DAB=，AE=AB，AH⊥BE于点H，连接DE交AH于点G，连接BG，BG=10，求BE的长.

6、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，点E是AC边的中点，D为BC上一点，若BA=BD，求sin∠ADE的值.

7、已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90º，D是AC的中点，E为AC垂直平分线上的动点，连接CE，过E作EF⊥CE，垂足为E，射线EF交直线AB于F，若AC=4，四边形BCEF的面积为4.5时，求AF的长.

8、如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AC=AD=BC，∠ABC=60°，AD=，CD=，求BD的长.

9、如图，等边△ABC中，D为直线BC下方一点，满足∠BDC=90°，将点C沿直线BD折叠得到点E，连接DE、AE，交射线DB于点F.

（1）求证：

∠AEC=30°；

（2）请你猜想AE、CE、BF之间的数量关系，并证明你的结论.

10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB边上，OB=OC，点D在OC的延长线上，连接AD，点E在AD上，OE交AC于点F，OE=OC，∠ABC=∠CAD+30°，若OF=4，DE=3，求OD的长.

答案：

1、∠CDE=68°

2、∠DAC=100°

3、BF=4

4、CD=

5、BE=

6、sin∠ADE=

7、AF=或AF=

8、BD=8

9、

（1）略；

（2）CE+BF=AE

10、OD=7

共底双等腰

接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。

共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。

模型一、如图，AB=AC，BD=DE，

（1）求证：

∠ABD=∠CDE；

（2）延长ED交AB于F，求证：

∠BDC=∠BFE。

证明：

（1）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β，

其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，

那么腰AB与腰BD的夹角∠ABD=∠ABC-∠DBE=α-β，

那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=∠ACB-∠DEB=α-β，

∴∠ABD=∠CDE。

（2）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β，

其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，

那么腰AB与腰DE的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，

那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β，

∴∠BDC=∠BFE。

模型一变式、①如图，AB=AC，∠ABD=∠CDE，求证：

BD=DE。

②如图，BD=DE，∠ABD=∠CDE，求证：

AB=AC。

模型二、如图，点D为射线CA上一点，点E为BC上一点，AB交DE于F，若AB=AC，DB=DE，

求证：

（1）∠ABD=∠CDE；

（2）∠BDC=∠BFE。

证明：

（1）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β，

其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，

那么腰AB与腰BD的夹角∠ABD=∠DBE-∠ABC=β-α，

那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=∠DEB-∠ACB=β-α，

∴∠ABD=∠CDE。

（2）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β，

其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，

那么腰AB与腰DE的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，

那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β，

∴∠BDC=∠BFE。

模型二变式、①如图，AB=AC，∠ABD=∠CDE，求证：

BD=DE。

②如图，BD=DE，∠ABD=∠CDE，求证：

AB=AC。

③如图，AB=AC，∠BDC=∠BFE，求证：

BD=DE。

④如图，BD=DE，∠BDC=∠BFE，求证：

AB=AC。

模型三、如图，点D为射线CA上一点，点E为射线CB上一点，若AB=AC，DB=DE，求证：

∠ABD=∠CDE。

证明：

∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β，

其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，

那么腰AB与腰DB的夹角∠ABD=180°-∠ABC-∠DBE=180°-α-β，

那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=180°-∠ACB-∠DEB=180°-α-β，

∴∠ABD=∠CDE。

模型三思考：

图中两个等腰三角形的底BC与BE共线，腰AC与腰腰DB的夹角为∠BDC，那么剩余的腰AB与剩余的腰DE在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰