初中数学竞赛反比例函数.docx
《初中数学竞赛反比例函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学竞赛反比例函数.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初一数学联赛班
七年级
第5讲反比例函数
知识总结归纳
一.定义:
一般地,形如(为常数,)的函数称为反比例函数.还可以写成
二.反比例函数解析式的特征:
(1)等号左边是函数,等号右边是一个分式.分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母
中含有自变量,且指数为1.
(2)比例系数
(3)自变量的取值为一切非零实数.
(4)函数的取值是一切非零实数.
三.反比例函数的图像
(1)图像的画法:
描点法
(2)反比例函数的图像是双曲线,(为常数,)中自变量,函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交.
(3)反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是或).
(4)反比例函数()中比例系数的几何意义是:
过双曲线()上任意引轴轴的垂线,所得矩形面积为.
四.反比例函数性质如下表:
的取值
图像所在象限
函数的增减性
一、三象限
在每个象限内,值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内,值随的增大而增大
典型例题
一.基础训练
【例1】作出反比例函数的图象,并根据图象解答下列问题:
(1)当x=4时,求y的值;
(2)当y=-2时,求x的值;(3)当y>2时,求x的范围.
【例2】函数y=图象的大致形状是( )
ABCD
【例3】已知y与2x-3成反比例,且时,y=-2,求y与x的函数关系式.
【例4】已知函数y=y1-y2,且y1为x的反比例函数,y2为x的正比例函数,且和x=1时,y的值都是1.求y关于x的函数关系式.
【例5】如图,点A、B是函数y=x与的图象的两个交点,作AC⊥x轴于C,作BD⊥x轴于D,则四边形ACBD的面积为().
【例6】如图,已知点A在反比例函数的图象上,AB⊥x轴于点B,点C(0,1),若△ABC的面积是3,则反比例函数的解析式为____________.
【例7】如图,直线y=mx与双曲线交于A,B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连结BM,若S△ABM=2,则k的值是多少?
【例8】已知:
如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OCD的一边OC在x轴上,∠C=90°,点D在第一象限,OC=3,DC=4,反比例函数的图象经过OD的中点A.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边交于点B,求过A、B两点的直线的解析式.
【例9】如图,已知点A,B在双曲线上,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,AC与BD交于点P,P是AC的中点,若△ABP的面积为3,求k的值.
【例10】如图,双曲线(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式是多少?
【例11】如图,直线y=kx+b与反比例函数(x<0)的图象交于点A,B,与x轴交于点C,其中点A的坐标为(-2,4),点B的横坐标为-4.
(1)试确定反比例函数的关系式;
(2)求△AOC的面积.
【例12】如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)求方程的解(请直接写出答案);
(4)求不等式的解集(请直接写出答案).
【例13】已知:
如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数的图象交于点A(3,2).
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值;
(3)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点M作直线MB∥x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC∥y轴交于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,请判断线段BM与DM的大小关系,并说明理由.
【例14】如图,A、B两点在函数的图象上.
(1)求m的值及直线AB的解析式;
(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.
【例15】如图,已知直线与双曲线交A,B两点,且点A的横坐标为4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.
【例16】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;
(3)x
M
N
y
D
A
B
C
E
O
若反比例函数(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
作业
1.作出函数的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)当x=-2时,求y的值;
(2)当2<y<3时,求x的取值范围;
(3)当-3<x<2时,求y的取值范围.
2.如图,一次函数的图像与反比例函数(为常数,且)的图像都经过点.
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式;
(2)结合图像直接比较:
当时,和的大小.
3.如图,函数与函数的图像相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D.则四边形ACBD的面积为
O
A、2 B、4 C、6 D、8
4.如图,A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则S=________.
5.已知反比例函数和一次函数.
(1)若一次函数与反比例函数的图像交于点P(2,m),求m和k的值.
(2)当k满足什么条件时,两函数的图像没有交点?
6.如图,点、在反比例函数()的图象上,且点、的横坐标分别为和()轴,垂足为,的面积为.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点(,),(,)也在反比例函数的图象上,试比较与的大小;
(3)求的面积.
9
思维的发掘能力的飞跃