初中数学中路径最短问题的策略.doc

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初中数学中路径最短问题的策略

 随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。

这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别，现举例说明：

一、利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。

 例：

如图

 张庄A、李庄B位于河沿的同侧，现在河沿L上修一提灌站C向张庄A、李庄B提水，问提灌站修在河沿L的什么地方，所用水管最少？

 分析：

要使水管最少（即最短）除非AC、BC的和为两定点之间的距离，也即是C在两定点的连线上，于是利用轴对称的性质，可用如下方法解答。

 1、找出A关于L的对称点A'；2、连结A'与L相交，交点即提灌站应建的位置C。

 变式：

当提灌站修在C处时，向张庄A、李庄B供水，所用水管最短，为3千米。

已知BC的长为1.2千米，你能在下图中找出张庄A的位置吗？

 二、通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。

 例：

如图，已知一长方体长2米，

 　　宽1米，高3米，一蚂蚁要

 　　从顶点C'爬行到顶点Ａ处，

 　　求所经过的最短路程为多少米？

 分析：

将该长方体表面如图展开，

 连结ＡＣ'，蚂蚁沿线段ＡC'

 爬行时所经过的路程就最近。

 解析：

由勾股定理可得蚂蚁经过的最短路程为2 米（说明：

ＡＣ'的连线必须在长方体的表面上）。

 思考题：

１、本题随着表面展开的方式不同，有多条路径，但最短时的路径的长度却不会随之变化，你不妨动手操作验证一下我的说法。

 ２、正视图为边长是６米的正三角形的圆锥

 粮堆中，在过轴切面的两条母线上，Ｂ为

 ＳＣ的中点，Ｂ处有一老鼠，Ａ处有一猫，

 求猫沿粮堆侧面去逮老鼠所经过的最短路程。

 三、通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。

 例：

如图，张庄Ａ、李庄Ｂ位河的两侧，河宽５０米，现要在河上架一座与河岸垂直的桥，桥架在什么位置，从张庄过桥到李庄所经过的路线最近。

 解析：

将张庄Ａ沿与河岸垂直的方向下移５０米到Ａ'，连结A'B交对岸于点Ｃ，过Ｃ作Ｌ的垂线交Ｌ'于点D，则桥应架在线段ＣＤ的位置上，就使从张庄Ａ经过桥到李庄Ｂ所经过的路线最近。