高中数学人教版A版必修五第三单元 32 一元二次不等式及其解法一文档格式.docx

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答案　①②

解析　①②是，符合定义；

③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；

④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；

⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．

知识点二　一元二次不等式的解法

利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：

（1）将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；

（2）计算相应的判别式；

（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根，作出函数图象，当Δ<

0时，直接作出函数图象草图；

（4）根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．

知识点三　“三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根

有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2

有两个相等的实数根x1，x2

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集

{x|x＜x1或x＞x2}

R

ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集

{x|x1＜x＜x2}

∅

思考　若一元二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）

解析　⇒⇒a＜－1.

题型一　一元二次不等式的解法

例1　解下列不等式：

（1）2x2＋7x＋3＞0；

（2）－4x2＋18x－≥0；

（3）－2x2＋3x－2＜0；

（4）－x2＋3x－5＞0.

解　

（1）因为Δ＝72－4×

2×

3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－或x＜－3}．

（2）原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.

（3）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×

2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

（4）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝（－6）2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

反思与感悟　解一元二次不等式注意事项

（1）先将二次项系数化为正数；

（2）正确理解“Δ>

0”“Δ<

0”对于二次函数图象的意义；

（3）答案要写成解集（或区间）形式．

跟踪训练1　解下列不等式：

（1）x2－5x－6＞0；

（2）（2－x）（x＋3）＜0；

（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．

解　

（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．

（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0.

方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.

结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．

（3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.

∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.

解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.

结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}．

题型二　解含参数的一元二次不等式

例2　解关于x的不等式：

ax2－（a－1）x－1＜0（a∈R）．

解　原不等式可化为：

（ax＋1）（x－1）＜0，

当a＝0时，x＜1；

当a＞0时，（x－1）＜0，

∴－＜x＜1；

当a＝－1时，x≠1；

当－1＜a＜0时，（x－1）＞0，

∴x＞－或x＜1；

当a＜－1时，－＜1，

∴x＞1或x＜－.

综上，

当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}；

当a＞0时，原不等式的解集是；

当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；

当－1＜a＜0时，原不等式的解集是.

当a＜－1时，原不等式的解集是.

反思与感悟　含参数不等式的解题步骤

（1）将二次项系数化为正数；

（2）判断相应的方程是否有根（如果可以直接分解因式，可省去此步）；

（3）根据根的情况写出相应的解集（若方程有两个相异实根，为了写出解集还要讨论两个根的大小）．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为一元二次不等式．

跟踪训练2　解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3＞0.

解　原不等式可化为

（x－a）（x－a2）＞0

讨论a与a2的大小

（1）当a2＞a即a＞1或a＜0时，

x＞a2或x＜a.

（2）当a2＝a即a＝0或a＝1时，

x≠a.

（3）当a2＜a即0＜a＜1时，

x＞a或x＜a2.

综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}，

当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，

当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}．

题型三　“三个二次”关系的应用

例3　已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（α，β），且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

解　方法一　由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

∴由根与系数的关系得

∵a＜0，0＜α＜β，∴由②得c＜0，

则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0.

①÷

②，得＝＝－＜0.

由②得＝＝·

＞0.

∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．

又∵0＜α＜β，∴0＜＜，

∴不等式x2＋x＋＞0的解集为，

即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.

方法二　由题意知a＜0，

∴由cx2＋bx＋a＜0，得x2＋x＋1＞0.

将方法一中的①②代入，

得αβx2－（α＋β）x＋1＞0，

即（αx－1）（βx－1）＞0.

又∵0＜α＜β，∴0＜＜.

∴所求不等式的解集为.

反思与感悟　求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>

0（a>

0）或ax2＋bx＋c<

0）的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．

当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用．

跟踪训练3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．

解　∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，

∴1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．

由根与系数的关系得得

代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.

解得x＜或x＞1.

∴bx2＋ax＋1＞0的解集为{x|x＜或x＞1}．

例4　若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为____________．

错解　由根与系数的关系得：

⇒

代入得ax2＋2ax－15a＜0，①

∴x2＋2x－15＜0，②

∴（x－3）（x＋5）＜0，

∴－5＜x＜3.

答案　{x|－5＜x＜3}

错因　分析①式化为②式，忽略了二次项系数a的符号，并非同解变形．

正解　由根与系数的关系得：

∴ax2＋2ax－15a＜0，

又由解集的形式知a＜0，

∴上式化为x2＋2x－15＞0，

∴（x－3）（x＋5）＞0，

∴x＞3或x＜－5.

答案　（－∞，－5）∪（3，＋∞）

误区警示　

1．注意隐含信息的提取

有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＜0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论．

2．注意“三个二次”的关系

二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点．

1．设集合A＝{x|x2－4x＋3<

0}，B＝{x|2x－3>

0}，则A∩B＝（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　由A＝{x|x2－4x＋3<

0}＝{x|1<

x<

3}，B＝{x|2x－3>

0}＝，

得A∩B＝＝，故选D.

2．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为（　　）

A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1

C．a＝1，c＝6D．a＝－1，c＝－6

答案　B

解析　易知a＜0，且⇒

3．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．

答案　（－∞，2]∪[4，＋∞）

解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.

4．不等式x2＋3x－4＜0的解集为________．

答案　（－4，1）

解析　易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4，1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为（－4，1）．

5．已知关于x的不等式mx2－（2m＋1）x＋m－1≥0的解集为空集，求实数m的取值范围．

解　

（1）当m＝0时，原不等式化为－x－1≥0，∴x≤－1，

解集非空．

（2）当m≠0时，

∴m＜－，

∴综上，m＜－，即m的取值范围是.

1.解一元二次不等式的常见方法

（1）图象法：

由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

①化不等式为标准形式：

ax2＋bx＋c>

0）；

②求方程ax2＋bx＋c＝0（a>

0）的根（或者方程无根），并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；

③由图象得出不等式的解集．

（2）代数法：

将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解．

当m<

n时，若（x－m）（x－n）>

0，则可得x>

n或x<

m；

若（x－m）（x－n）<

0，则可得m<

n.有口诀如下：

大于取两边，小于取中间．

2．含参数的一元二次不等式

在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：

（1）关于不等式类型的讨论：

二次项系数a>

0，a<

0，a＝0.

（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：

两根（Δ>

0），一根（Δ＝0），无根（Δ<

0）．

（3）关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：

x1>

x2，x1＝x2，x1<

x2.