大全因式分解公式大全Word文件下载.docx
《大全因式分解公式大全Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大全因式分解公式大全Word文件下载.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比较两边对应项的系数,则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用,请同学们自己解一下.
例2分解因式:
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整多项式,根据前面讲过的,若原式有有理根,则只可能是±
1,±
7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以
原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入,直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
求根法(因式分解)
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f
(1)=12-3×
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=12-3×
1+2=0;
f(-2)=(-2)2-3×
(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的都是时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根,则必有p是a0的,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行.
x3-4x2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:
±
2,±
4,只有
f
(2)=23-4×
22+6×
2-4=0,
即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.
解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2).
解法2用多项式除法,将原式除以(x-2),
原式=(x-2)(x2-2x+2).
说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.
例3分解因式:
9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有±
3,±
9;
-2的约数有±
1,
为:
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.
双十字相乘法(因式分解)
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
原式=(y+1)(x+y-2).
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
笔算开平方
对于一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对于其它数只需模仿即可
例求316.4841的平方根.
第一步,先将被开方的数,从小数点位置向左右每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.
第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超过第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<
3,而(1+1)2=4>
3.
第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,组成第一余数,在本例中第一余数为216.
第四步,找出试商,使(20×
初商+试商)×
试商不超过第一余数,而【20×
初商+(试商+1)】×
(试商+1)则大于第一余数.
第五步,把第一余数减去(20×
试商,并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告结束.若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.
第六步,定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下:
根式的概念
【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数,它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式,称为根式.n称为根指数,a称为根底数.在实数范围内,负数不能开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值相同,符号相反.
【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.
【基本性质】由方根的定义,有
根式运算
【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积;
反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根,即
≥0,b≥0)
【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,即
≥0,b>
0)
【根式的乘方】≥0)
【根式化简】
≥0)
≥0,d≥0)
【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.
进位制的基与数字
任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数,各数字的值与数字所在的位置有关,任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如
一般地,任一正数a可表为
这就是10进数,记作a(10),数10称为进位制的基,式中ai在{0,1,2,L,9}中取值,称为10进数的数字,显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基,于是就得到q进数表示
(1)
式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,anan-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];
a-1a-2...称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.常用进位制,除10进制外,还有2进制、8进制、16进制等,其数字如下
2进制0,1
8进制0,1,2,3,4,5,6,7
16进制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
各种进位制的相互转换
1
q→10转换
适用通常的10进数四则运算规则,根据公式
(1),可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如
2
10→q转换
转换时必须分为整数部分和分数部分进行.
对于整数部分其步骤是:
(1)用q去除[