课时跟踪检测十五导数与函数的极值最值重点高中Word文档下载推荐.docx
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A．－13B．－15
C．10D．15
选A 求导得f′（x）＝－3x2＋2ax，
由函数f（x）在x＝2处取得极值知f′
（2）＝0，
即－3×
4＋2a×
2＝0，所以a＝3.
由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4，f′（x）＝－3x2＋6x，易知f（x）在[－1,0）上单调递减，在（0,1]上单调递增，所以当m∈[－1,1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.
又因为f′（x）＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，
所以当n∈[－1,1]时，f′（n）min＝f′（－1）＝－9.
故f（m）＋f′（n）的最小值为－13.
5.已知函数f（x）＝－k，若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A．（－∞，e]B．[0，e]
C．（－∞，e）D．[0，e）
选A 因为函数f（x）＝－k，
所以函数f（x）的定义域是（0，＋∞），
所以f′（x）＝－k
＝.
因为x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，
所以x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根．
所以－k＝0在（0，＋∞）上无变号零点．
设g（x）＝，则g′（x）＝.
当x∈（0,1）时，g′（x）<
0，当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>
0，
所以g（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g
（1）＝e，结合g（x）＝与y＝k的图象知，若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则应需k≤e.
6.f（x）＝的极小值为________．
f′（x）＝＝.
令f′（x）<
0，得x<
－2或x>
1.
令f′（x）>
0，得－2<
x<
∴f（x）在（－∞，－2），（1，＋∞）上是减函数，在（－2,1）上是增函数，∴f（x）极小值＝f（－2）＝－.
答案：
－
7．从边长为10cm×
16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，x∈（0,5）．
则y＝（10－2x）（16－2x）x＝4x3－52x2＋160x，
∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或x＝（舍去），
∴ymax＝6×
12×
2＝144（cm3）．
144
8．已知函数f（x）＝x3－3ax＋b的单调递减区间为（－1,1），其极小值为2，则f（x）的极大值是________．
因为f（x）的单调递减区间为（－1,1），所以a>
由f′（x）＝3x2－3a＝3（x－）（x＋），
可得a＝1，
由f（x）＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，
可得1－3＋b＝2，故b＝4.
所以f（x）＝x3－3x＋4的极大值为f（－1）＝（－1）3－3×
（－1）＋4＝6.
6
9．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：
3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值．
（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：
（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′（x）＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f（x）有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f
（1）＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
（2）由
（1）可得f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，
f′（x）＝3x2＋4x－4.
令f′（x）＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f′（x），f（x）的取值及变化情况如表所示：
x
－3
（－3，－2）
－2
1
f′（x）
＋
f（x）
8
13
4
所以y＝f（x）在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
10.设函数f（x）＝mx2－（2m＋1）x＋lnx，m∈R.
（1）当m＝3时，求f（x）的极值；
（2）设m>
0，讨论函数f（x）的单调性．
（1）当m＝3时，f（x）＝3x2－7x＋lnx（x>
0），
∴f′（x）＝6x－7＋＝.
由f′（x）>
0，得0<
或x>
1；
由f′（x）<
0，得<
1，
∴函数f（x）在和（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减，
∴函数f（x）的极大值为f＝－－ln6，极小值为f
（1）＝－4.
（2）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝2mx－（2m＋1）＋＝.
由f′（x）＝0，得x＝或x＝1.
①当＝1，即m＝时，f′（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
②当>
1，即0<
m<
时，
1或x>
，
0，得1<
∴函数f（x）在（0,1）和上单调递增，在上单调递减；
③当0<
<
1，即m>
∴函数f（x）在和（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减．
B级——拔高题目稳做准做
1．（2017·
全国卷Ⅱ）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）·
ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
A．－1B．－2e－3
C．5e－3D．1
选A 因为f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，
所以f′（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1
＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.
因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，
所以a＝－1，f′（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.
0，解得x<
0，解得－2<
所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值＝f
（1）＝－1.
2.（2018·
广东韶关六校联考）对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：
设f′（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；
任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）＝2x3－3x2＋，则g＋g＋…＋g＝（ ）
A．100B．50
C.D．0
选D ∵g（x）＝2x3－3x2＋，
∴g′（x）＝6x2－6x，g″（x）＝12x－6，
由g″（x）＝0，得x＝，
又g＝2×
3－3×
2＋＝0，
∴函数g（x）的图象关于点对称，
∴g（x）＋g（1－x）＝0，
∴g＋g＋…＋g＝49×
0＋g＝g＝0.故选D.
3.函数f（x）＝x3－3ax＋b（a>
0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间是________．
令f′（x）＝3x2－3a＝0，得x＝±
.
当x变化时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
（－∞，
－）
（－，
）
（，
＋∞）
极大值
极小值
从而
解得
所以f（x）的单调递减区间是（－1,1）．
（－1,1）
4.设函数f（x）＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为________．
∵f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－ax－b，
由f′
（1）＝0，得b＝1－a.
∴f′（x）＝－ax＋a－1＝
＝－.
①若a≥0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以x＝1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，由f′（x）＝0，得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f（x）的极大值点，
所以－＞1，解得－1＜a＜0.
综合①②得a的取值范围是（－1，＋∞）．
（－1，＋∞）
5.已知函数f（x）＝－.
（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）设函数g（x）＝－－＋m（m∈R），试讨论函数f（x）与g（x）的图象在（0，＋∞）上交点的个数．
（1）由题意知，f′（x）＝，
∴f′（0）＝1，又f（0）＝－，
故所求切线方程为y＋＝x，即x－y－＝0.
（2）令h（x）＝f（x）－g（x）＝－＋＋－m（x>
则h′（x）＝－＋＝－.
易知h′
（1）＝0，
∴当0<
1时，h′（x）>
0，当x>
1时，h′（x）<
∴函数h（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
∴h（x）max＝h
（1）＝－＋1－m.
①当－＋1－m＝0，即m＝1－时，函数h（x）只有1个零点，
即函数f（x）与g（x）的图象在（0，＋∞）上只有1个交点；
②当－＋1－m<
0，即m>
1－时，函数h（x）没有零点，
即函数f（x）与g（x）的图象在（0，＋∞）上没有交点；
③当－＋1－m>
0，即m<
1－时，函数h（x）有2个零点，
即函数f（x）与g（x）的图象在（0，＋∞）上有2个交点．
6.（2018·
广西三市第一次联考）已知f（x）＝ax－lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然对数的底数，a∈R.
（1）当a＝1时，求f（x）的极值，并证明f（x）＞g（x）＋恒成立；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为3？
若存在，求出a的值；
若不存在，请说明理由．
（1）∵f（x）＝x－lnx，f′（x）＝1－＝.
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0
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