届高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版Word格式文档下载.docx

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（2）重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|.

使用时（特别是求最值时）要注意等号成立的条件，即

|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；

|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；

|a|－|b|＝|a＋b|⇔b（a＋b）≤0；

|a|－|b|＝|a－b|⇔b（a－b）≥0；

注：

|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|（a＋b）－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b（a＋b）≤0.

同理可得|a|－|b|＝|a－b|⇔b（a－b）≥0.

自我检测

1．（2010·

江西）不等式＞的解集是（　　）

A．（0,2）B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）D．（－∞，0）∪（0，＋∞）

2．（2011·

天津）已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈（0，＋∞）}，则集合A∩B＝________.

3．（2011·

潍坊模拟）已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（　　）

A．a<

5B．a≤5

C．a>

5D．a≥5

4．若不等式|x＋1|＋|x－2|<

a无实数解，则a的取值范围是________．

5．（2009·

福建）解不等式|2x－1|<

|x|＋1.

探究点一　解绝对值不等式

例1解下列不等式：

（1）1<

|x－2|≤3；

（2）|2x＋5|>

7＋x；

（3）|x－1|＋|2x＋1|<

2.

变式迁移1（2011·

江苏）解不等式x＋|2x－1|<

3.

探究点二　绝对值不等式的恒成立问题

例2　（2011·

商丘模拟）已知不等式|x＋2|－|x＋3|>

m.

（1）若不等式有解；

（2）若不等式解集为R；

（3）若不等式解集为∅.

分别求出实数m的取值范围．

变式迁移2　设函数f（x）＝|x－1|＋|x－2|，若f（x）>

a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

探究点三　绝对值三角不等式定理的应用

例3　“|x－A|<

，且|y－A|<

”是“|x－y|<

ε”（x，y，A，ε∈R）的（　　）

A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

变式迁移3　

（1）求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；

（2）求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．

转化与化归思想的应用

例　（10分）设a∈R，函数f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），

（1）若|a|≤1，求证：

|f（x）|≤；

（2）求a的值，使函数f（x）有最大值.

多角度审题　第

（1）问|f（x）|≤⇔－≤f（x）≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f（x）|≤；

二是证明－≤f（x）≤亦可．第

（2）问实质上是已知f（x）的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f（x）是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上．

【答题模板】

证明　

（1）方法一　∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，

∴|f（x）|＝|a（x2－1）＋x|≤|a（x2－1）|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|

＝－2＋≤.[3分]

∴若|a|≤1，则|f（x）|≤.[5分]

方法二　设g（a）＝f（x）＝ax2＋x－a＝（x2－1）a＋x.

∵－1≤x≤1，

∴当x＝±

1，

即x2－1＝0时，|f（x）|＝|g（a）|＝1≤；

[1分]

当－1<

x<

1即x2－1<

0时，g（a）＝（x2－1）a＋x是单调递减函数．[2分]

∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g（a）max＝g（－1）＝－x2＋x＋1＝－2＋；

[3分]

g（a）min＝g

（1）＝x2＋x－1＝2－.[4分]

∴|f（x）|＝|g（a）|≤.[5分]

（2）当a＝0时，f（x）＝x，当－1≤x≤1时，f（x）的最大值为f

（1）＝1，不满足题设条件，

∴a≠0.[6分]

又f

（1）＝a＋1－a＝1，f（－1）＝a－1－a＝－1.

故f

（1）和f（－1）均不是最大值，[7分]

∴f（x）的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得，

∴命题等价于，[9分]

解得，

∴a＝－2.即当a＝－2时，函数f（x）有最大值.[10分]

【突破思维障碍】

由于|a|≤1，f（x）的表达式中有两项含有a，要想利用条件|a|≤1，必须合并含a的项，从而找到解题思路；

另外，由于x的最高次数为2，而a的最高次数为1，把ax2＋x－a看作关于a的函数更简单，这两种方法中，对a的合并都是很关键的一步．

【易错点剖析】

在第

（1）问中的方法一中，如果不合并含a的项，就无法正确应用条件|a|≤1，从而导致出错或证不出；

方法二也需要先合并含a的项后，才容易把f（x）看作g（a）．

解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：

公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；

但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；

应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．不等式|x2－x|<

2的解集为（　　）

A．（－1,2）B．（－1,1）

C．（－2,1）D．（－2,2）

郑州期末）设|a|<

1，|b|<

1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是（　　）

A．|a＋b|＋|a－b|>

2B．|a＋b|＋|a－b|<

2

C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不能比较大小

3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－1]∪[4，＋∞）B．（－∞，－2]∪[5，＋∞）

C．[1,2]D．（－∞，1]∪[2，＋∞）

4．若不等式|8x＋9|<

7和不等式ax2＋bx>

2的解集相等，则实数a、b的值分别为（　　）

A．a＝－8，b＝－10B．a＝－4，b＝－9

C．a＝－1，b＝9D．a＝－1，b＝2

5．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　）

－1或a>

3B．－1<

a<

3

C．－1<

2D．1<

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．给出以下三个命题：

①若|a－b|<

1，则|a|<

|b|＋1；

②若a、b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

③若|x|<

2，|y|>

3，则<

.其中所有正确命题的序号是________________．

7．（2010·

陕西）不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．

8．（2011·

深圳模拟）若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________________________________________________________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010·

福建）已知函数f（x）＝|x－a|.

（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；

（2）在

（1）的条件下，若f（x）＋f（x＋5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

10．（12分）（2009·

辽宁）设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|.

（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

11．（14分）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|（|x－1|＋|x－2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

1．绝对值符号　3.

（2）零点分区间讨论法

4．

（1）（a－b）（b－c）≥0

1．A　[∵＞，∴＜0，∴0＜x＜2.]

2．{x|－2≤x≤5}

解析　|x＋3|＋|x－4|≤9，

当x<

－3时，－x－3－（x－4）≤9，即－4≤x<

－3；

当－3≤x≤4时，x＋3－（x－4）＝7≤9恒成立；

当x>

4时，x＋3＋x－4≤9，即4<

x≤5.

综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．

又∵x＝4t＋－6，t∈（0，＋∞），

∴x≥2－6＝－2，当t＝时取等号．

∴B＝{x|x≥－2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．

3．D　[由绝对值的几何意义知|x＋2|＋|x－3|∈[5，＋∞），

因此要使|x＋2|＋|x－3|≤a有解集，需a≥5.]

4．a≤3

解析　由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，

而|x＋1|＋|x－2|<

a无解，知a≤3.

5．解　当x<

0时，原不等式可化为－2x＋1<

－x＋1，解得x>

0，又∵x<

0，∴x不存在；

当0≤x<

时，原不等式可化为－2x＋1<

x＋1，解得x>

0，

又∵0≤x<

，∴0<

；

当x≥时，原不等式可化为2x－1<

x＋1，解得x<

2，

又∵x≥，∴≤x<

综上，原不等式的解集为{x|0<

2}．

课堂活动区

例1解题导引　

（1）绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．其方法主要有：

利用绝对值的意义；

利用公式；

平方、分区间讨论等．

（2）利用平方法去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行．

（3）零点分段法解绝对值不等式的步骤：

①求零点；

②划区间、去绝对值号；

③分别解去掉绝对值的不等式；

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

解　

（1）原不等式等价于不等式组，

即，

解得－1≤x<

1或3<

x≤5，

所以原不等式的解集为{x|－1≤x<

1，或3<

x≤5}．

（2）由不等式|2x＋5|>

7＋x，

可得2x＋5>

7＋x或2x＋5<

－（7＋x），

整理得x>

2，或x<

－4.

∴原不等式的解集是{x|x<

－4，或x>

（3）由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－时，2x＋1＝0（以下分类讨论）．

所以①当x<

－时，原不等式等价于得－<

－.

②当－≤x≤1时，原不等式等价于得－≤x<

0.

③当x>

1时，原不等式等价于得x无解．

由①②③得原