届高考数学全国通用二轮复习基础小题精品讲义 第9讲 三角函数的概念三角恒等变换Word格式文档下载.docx

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A.27B.C.9D.

解析　角α的终边经过点（，），

若α＝，则tan＝tan＝＝＝，则m＝.

3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝________.

答案　－8

解析　因为r＝＝，且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，

所以θ为第四象限角，解得y＝－8.

4.（2017·

北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝________.

答案　

解析　由角α与角β的终边关于y轴对称，

可知α＋β＝π＋2kπ（k∈Z），所以β＝2kπ＋π－α（k∈Z），

所以sinβ＝sinα＝.

5.函数y＝的定义域是________.

答案　，k∈Z

考点二　三角函数的求值与化简

要点重组　

（1）同角三角函数基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

（2）诱导公式：

角π±

α（k∈Z）的三角函数口诀：

奇变偶不变，符号看象限.

（3）和差公式.

方法技巧　

（1）三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；

注意角的变形，看函数名称之间的关系；

观察式子的结构特点.

（2）公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin2α＝，cos2α＝.

6.（2017·

安徽淮北二模）已知α满足sinα＝，则coscos等于（　　）

A.B.

C.－D.－

答案　A

解析　coscos＝（cosα－sinα）·

（cosα＋sinα）

＝（cos2α－sin2α）＝（1－2sin2α）＝＝，故选A.

7.（2017·

全国Ⅲ）已知sinα－cosα＝，则sin2α等于（　　）

A.－B.－C.D.

解析　∵sinα－cosα＝，

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，

∴sin2α＝－.

故选A.

8.若（4tanα＋1）（1－4tanβ）＝17，则tan（α－β）等于（　　）

A.B.C.4D.12

答案　C

解析　由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，

∴tanα－tanβ＝4（1＋tanαtanβ），

∴tan（α－β）＝＝4.

9.（2017·

全国Ⅰ）已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.

解析　cos＝cosαcos＋sinαsin＝（cosα＋sinα）.

又由α∈，tanα＝2知，sinα＝，cosα＝，

∴cos＝×

＝.

10.已知cos（2α－β）＝－，sin（α－2β）＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.

解析　因为cos（2α－β）＝－且＜2α－β＜π，

所以sin（2α－β）＝.

因为sin（α－2β）＝且－＜α－2β＜，

所以cos（α－2β）＝.

所以cos（α＋β）＝cos[（2α－β）－（α－2β）]

＝cos（2α－β）cos（α－2β）＋sin（2α－β）sin（α－2β）

＝－×

＋×

因为＜α＋β＜，

所以α＋β＝.

考点三　三角恒等变换的应用

要点重组　辅助角公式：

asinα＋bcosα＝·

sin（α＋φ），

其中cosφ＝，sinφ＝.

11.（2017·

山东）函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为（　　）

A.B.C.πD.2π

解析　∵y＝sin2x＋cos2x＝2sin，

∴T＝＝π.

故选C.

12.（2017·

全国Ⅲ）函数f（x）＝sin＋cos的最大值为（　　）

A.B.1C.D.

解析　方法一　∵f（x）＝sin＋cos

＝＋cosx＋sinx

＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx

＝sinx＋cosx＝sin，

∴当x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值.

方法二　∵＋＝，

∴f（x）＝sin＋cos＝sin＋cos

＝sin＋sin＝sin≤.

∴f（x）max＝.

13.已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，下列说法错误的是（　　）

A.f（x）的最小正周期为π

B.直线x＝是f（x）图象的一条对称轴

C.f（x）在上单调递增

D.|f（x）|的值域是[0，1]

解析　f（x）＝cos2x，f（x）在上不单调，

∴选项C中的结论错误.

14.设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.

答案　－

解析　f（x）＝sinx－2cosx＝＝sin（x－φ），

其中sinφ＝，cosφ＝.

当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）取到最大值，

即当θ＝2kπ＋＋φ时，函数f（x）取到最大值，

所以cosθ＝－sinφ＝－.

15.函数f（x）＝sinx－cos的值域为________.

答案　[－，]

解析　f（x）＝sinx－cos

＝sinx－

＝sinx－cosx

＝

＝sin∈[－，].

1.设cos（－80°

）＝k，那么tan100°

等于（　　）

A.B.－

C.D.－

解析　sin80°

＝＝＝，

所以tan100°

＝－tan80°

＝－＝－.

2.设α∈，β∈，且tanα＝，则（　　）

A.3α－β＝B.2α－β＝

C.3α＋β＝D.2α＋β＝

解析　∵tanα＝＝，

∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，

∴sin（α－β）＝cosα＝sin.①

∵0＜α＜，0＜β＜，

∴－＜α－β＜，0＜－α＜，

∴由①得α－β＝－α，即2α－β＝.故选B.

3.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则tanθ的值为________.

解析　∵sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），

∴（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝，

∴sinθcosθ＝－，

∴（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝.

又θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0，

∴sinθ－cosθ＝，

∴sinθ＝，cosθ＝－，

∴tanθ＝－.

解题秘籍　

（1）使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号.

（2）利用三角函数值求角要解决两个要素：

①角的某一个三角函数值；

②角的范围（尽量缩小）.

1.点P从（1，0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为（　　）

A.B.C.D.

解析　设点Q的坐标为（x，y），

则x＝cos＝－，y＝sin＝.

∴点Q的坐标为.

2.若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是（　　）

A.∪

B.∪（k∈Z）

C.∪

D.∪（k∈Z）

解析　根据题意并结合正弦线可知，

α满足∪（k∈Z），

∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是∪.

3.（2017·

贵州七校联考）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为（　　）

A.－B.C.－D.

答案　D

解析　由题意得tanθ＝2，

∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝，

cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝－，

∴sin＝（sin2θ＋cos2θ）＝.

4.若α是第四象限角，tan＝－，则cos等于（　　）

A.B.－C.D.－

解析　由题意知，sin＝－，cos＝cos＝sin＝－.

5.的值是（　　）

A.B.C.D.

解析　原式＝＝

＝＝.

6.已知sinα＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于（　　）

解析　因为α，β均为锐角，

所以－＜α－β＜.

又sin（α－β）＝－，

所以cos（α－β）＝.

又sinα＝，所以cosα＝.

所以sinβ＝sin[α－（α－β）]＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）

＝×

－×

＝，

所以β＝.

7.tan70°

＋tan50°

－tan70°

tan50°

的值等于（　　）

A.B.C.－D.－

解析　因为tan120°

＝＝－，

即tan70°

＝－.

8.记a＝sin（cos2010°

），b＝sin（sin2010°

），c＝cos（sin2010°

），d＝cos（cos2010°

），则a，b，c，d中最大的是（　　）

A.aB.bC.cD.d

解析　注意到2010°

＝360°

×

5＋180°

＋30°

，因此sin2010°

＝－sin30°

＝－，cos2010°

＝－cos30°

＝－，因为－＜－＜0，－＜－＜0，0＜＜＜，所以cos＞cos＞0，所以a＝sin＝－sin＜0，b＝sin＝－sin＜0，c＝cos＝cos＞d＝cos＝cos＞0，因此c最大.

9.已知角α终边上一点P（－4，3），则的值为________.

解析　原式＝＝tanα.

根据三角函数的定义，得tanα＝＝－，

所以原式＝－.

10.已知tanα＝4，则的值为________.

解析　＝＝＝＝.

11.若函数f（x）＝cosωxcos（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值为________.

答案　1

解析　由于f（x）＝cosωxcos＝sin2ωx，所以T＝＝π⇒ω＝1.

12.若α∈，则的最大值为________.

解析　∵α∈，

∴＝＝，且tanα>

0，

∴＝≤＝，

故的最大值为.