高考数学二轮复习 专题13 三角函数与平面向量讲文Word格式.docx

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【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：

，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．

【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.

【趁热打铁】已知角的张终边经过点，且为第二象限．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

（1）；

（2）

【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】故选D.

【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知，，则__________.

【方法总结☆全面提升】

（1）巧记六组诱导公式

对于“，的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：

奇变偶不变，符号看象限．

（2）几个常见的变形切入点：

①可凑倍角公式；

②可用升次公式；

③可化为，再用升次公式；

或

④（其中）这一公式应用广泛，熟练掌握.

⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

⑦常见的配角技巧：

；

.

【规范示例☆避免陷阱】

【典例】若函数的最大值为2，试确定常数的值．

【规范解答】∵，，

由已知得.

【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法.三角函数求值有三类

（1）“给角求值”：

一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

（2）“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

【误区警示】

已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于的三角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因.

考向二三角函数的图象和性质

1．【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则，.

【答案】，

2.【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数最小正周期为.

试题分析：

因为,所以其周期,

3.【三角函数图象的变换】【2017课标1，理9】已知曲线C1：

y=cosx，C2：

y=sin（2x+），则下面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

4.【两角和差的三角函数、三角函数的最值】【2017课标3改编】函数的最大值为.

【解析】由诱导公式可得：

，

则：

函数的最大值为.

5.【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．求的最小正周期及单调递增区间．

【答案】最小正周期为，单调递增区间为．

三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,常以选择题、填空题的形式考查,目前浙江高考也以解答题形式考查.试题难度为中低档.

三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin（ωx+φ）的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.

预测:

三角函数的图象与性质考查方式较灵活,主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主,通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现.

【例1】已知函数其中，,

（1）若求的值；

（2）在

（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；

并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数.

（2）.

函数的图象向左平移个单位后所对应的函数为，

是偶函数当且仅当即

从而，最小正实数.

【趁热打铁】为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度

【答案】B

【解析】因为，所以可以将函数的图象向右平移个单位长度.

【例2】【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．

（Ⅰ）2；

（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．

（Ⅱ）由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

解得

所以的单调递增区间是．

【趁热打铁】已知函数．

（）求函数在上的单调递增区间．

（）若且，求的值．

（1）和；

（2）

【例3】【2018广东广州海珠区综合测试

（一）】设函数，则下列结论错误的是（）

A.的一个周期为B.的图像关于直线对称

C.的一个零点为D.在区间上单调递减

【解析】的周期为T=k,所以A对；

当时，=-1,所以B对；

时，所以C错；

时，，y=cosx在上递减，所以D对；

故选C.

【趁热打铁】已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是（）

①函数的最小正周期是；

②函数在区间上是增函数；

③函数的图象关于直线对称；

④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

1.利用待定系数法求解析式.若设所求解析式为y=Asin（ωx+φ）,可按以下规律来确定A,ω,φ：

（1）一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程.

（2）因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者利用结论“相邻的两个最高点与最低点之间的距离为;

相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T等”来确定T.

（3）代入点的坐标,通过先解三角方程,再结合图象确定φ.

特别提醒:

求y=Asin（ωx+φ）的解析式,最难的是求φ,第一零点常常用来求φ,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出φ.若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.

2.图象变换理论:

（1）平移变换

①沿x轴平移,按“左加右减”法则;

②沿y轴平移,按“上加下减”法则.

（2）伸缩变换

①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长（0<

ω<

1）或缩短（ω>

1）为原来的（纵坐标y不变）;

②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长（A>

1）或缩短（0<

A<

1）为原来的A倍（横坐标x不变）.

对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少,尤其当x与y前的系数不为1时一定要先将系数提出来再判断.

3.三角函数的综合性问题,常将三角函数与三角形及向量结合在一起,需要综合运用三角函数的性质,运用各种三角函数公式、三角恒等变换以及三角形的有关知识等方法求解.

【典例】已知函数f（x）=cos-2sinxcosx.

（1）求f（x）的最小正周期;

（2）求证:

当x∈时,f（x）≥-.

【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.

【误区警示】解答本题易出错之处有，一是不能正确的进行三角恒等变换；

二是利用的范围进一步确定的范围，并根据三角函数图象，正确对待三角函数的范围.

考向三解三角形

1．【余弦定理的应用】【2017·

山东卷改编】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3,A＝，S△ABC＝3，则a＝________．

【解析】因为A＝，b＝3，S△ABC＝bcsinA＝3，

所以c＝2，

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

得a2＝9＋8－2×

3×

2×

＝29，所以a＝.

2.【正弦、余弦定理定理的应用】【2017·

天津卷改编】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝（a2－b2－c2），则cosA的值为________．

【答案】－

3.【三角恒等变换、正弦定理】【2016·

四川卷改编】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝，则sinAsinB与sinC的大小关系是________．

【答案】sinAsinB＝sinC　

【解析】根据正弦定理，可设＝＝＝k（k>

0），

则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，

代入＋＝中，

有＋＝，变形可得

sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，

所以sinAsinB＝sinC.

4.【正弦定理、三角形面积】【2015·

浙江卷改编】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tanA＝，B＝，a＝3，则△ABC的面积为________．

【答案】9

【命题预测☆看