高中数学第1章集合与函数概念章末检测B新人教A版必修.docx

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高中数学第1章集合与函数概念章末检测B新人教A版必修

2019-2020年高中数学第1章集合与函数概念章末检测B新人教A版必修

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若集合A、B、C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是（　　）

A．ACB．CA

C．A⊆CD．C⊆A

2．已知函数y＝的定义域为（　　）

A．（－∞，1]

B．（－∞，2]

C．（－∞，－）∩（－，1]

D．（－∞，－）∪（－，1]

3．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合运算：

P*Q＝{z|z＝ab（a＋b），a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1}，Q＝{2,3}，则P*Q中元素之和是（　　）

A．0B．6

C．12D．18

4．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，映射f：

x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

5．集合M由正整数的平方组成，即M＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M对下列运算封闭的是（　　）

A．加法B．减法

C．乘法D．除法

6．设全集U＝{（x，y）|x，y∈R}，集合M＝{（x，y）|＝1}，N＝{（x，y）|y≠x＋1}，则∁U（M∪N）等于（　　）

A．∅B．{（2,3）}

C．（2,3）D．{（x，y）|y＝x＋1}

7．已知偶函数f（x）的定义域为R，且在（－∞，0）上是增函数，则f（－）与f（a2－a＋1）的大小关系为（　　）

A．f（－）

B．f（－）>f（a2－a＋1）

C．f（－）≤f（a2－a＋1）

D．f（－）≥f（a2－a＋1）

8．函数f（x）＝（x≠－），满足f[f（x）]＝x，则常数c等于（　　）

A．3B．－3

C．3或－3D．5或－3

9．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f（－1）等于（　　）

A．3B．1C．－1D．－3

10．已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f

（1）的取值范围是（　　）

A．f

（1）≥25B．f

（1）＝25

C．f

（1）≤25D．f

（1）>25

11．设函数f（x）＝则不等式f（x）>f

（1）的解集是（　　）

A．（－3,1）∪（3，＋∞）B．（－3,1）∪（2，＋∞）

C．（－1,1）∪（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（1,3）

12．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞）上是减函数，又f（7）＝6，则f（x）（　　）

A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6

B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6

C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6

D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设函数f（x）＝，已知f（x0）＝8，则x0＝________.

14．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________.

15．若定义运算a⊙b＝，则函数f（x）＝x⊙（2－x）的值域为________．

16．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1

①f（0）＝0；②f（）＝f（x）；③f（1－x）＝1－f（x），则f（）＋f（）＝________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及∁UA.

18．（12分）讨论函数f（x）＝x＋（a>0）的单调区间．

19．（12分）若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且f（）＝f（x）－f（y）．

（1）求f

（1）的值；

（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.

20．（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p＝该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝－t＋40（0

（1）求这种商品的日销售金额的解析式；

（2）求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

21．（12分）已知≤a≤1，若函数f（x）＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）＝M（a）－N（a）．

（1）求g（a）的函数表达式；

（2）判断函数g（a）在区间[，1]上的单调性，并求出g（a）的最小值．

22．（12分）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）满足下列条件：

①当x∈R时，其最小值为0，且f（x－1）＝f（－x－1）成立；

②当x∈（0,5）时，x≤f（x）≤2|x－1|＋1恒成立．

（1）求f

（1）的值；

（2）求f（x）的解析式；

（3）求最大的实数m（m>1），使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f（x＋t）≤x成立．

1．C　[∵A∩B＝A，∴A⊆B，

∵B∪C＝C，∴B⊆C，∴A⊆C，故选C.]

2．D　[由题意知：

解得故选D.]

3．D　[∵P＝{0,1}，Q＝{2,3}，a∈P，b∈Q，故对a，b的取值分类讨论．当a＝0时，z＝0；当a＝1，b＝2时，z＝6；当a＝1，b＝3时，z＝12.综上可知：

P*Q＝{0,6,12}，元素之和为18.]

4．D　[∵集合M中的元素－1不能映射到N中为－2，

∴

即

∴a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，

∴a＋b＝4.]

5．C　[设a、b表示任意两个正整数，则a2、b2的和不一定属于M，如12＋22＝5∉M；a2、b2的差也不一定属于M，如12－22＝－3∉M；a2、b2的商也不一定属于M，如＝∉M；因为a、b表示任意两个正整数，a2·b2＝（ab）2，ab为正整数，所以（ab）2属于M，即a2、b2的积属于M.故选C.]

6．B　[集合M表示直线y＝x＋1上除点（2,3）外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N表示直线y＝x＋1外的点，所以M∪N表示直线y＝x＋1外的点及两条射线，∁U（M∪N）中的元素就是点（2,3）．]

7．D　[设x1>x2>0，则－x1<－x2<0，

∵f（x）在（－∞，0）上是增函数，

∴f（－x1）

∴f（x1）

又∵a2－a＋1＝（a－）2＋≥，

∴f（a2－a＋1）≤f（）＝f（－）．]

8．B　[＝x，f（x）＝＝，

得c＝－3.]

9．D　[因为奇函数f（x）在x＝0处有定义，所以f（0）＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f（x）＝2x＋2x－1，f

（1）＝3，从而f（－1）＝－f

（1）＝－3.]

10．A　[函数f（x）的增区间为[，＋∞），函数在区间[－2，＋∞）上是增函数，所以≤－2，m≤－16，f

（1）＝4－m＋5≥25.]

11．A　[易知f

（1）＝3，则不等式f（x）>f

（1）等价于或

解得－33.]

12．B　[由f（x）是偶函数，得f（x）关于y轴对称，其图象可以用下图简单地表示，

则f（x）在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.]

13.

解析　∵当x≥2时，f（x）≥f

（2）＝6，

当x<2时，f（x）

（2）＝4，

∴x＋2＝8（x0≥2），解得x0＝.

14．－2

解析　∵f（x＋4）＝f（x），∴f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1）＝－f

（1）＝－2×12＝－2.

15．（－∞，1]

解析　由题意知x⊙（2－x）表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出，f（x）的值域为（－∞，1]．

16.

解析　由题意得f

（1）＝1－f（0）＝1，

f（）＝f

（1）＝，f（）＝1－f（），

即f（）＝，

由函数f（x）在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，f（x）＝，则f（）＝，

又f（×）＝f（）＝，

即f（）＝.

因此f（）＋f（）＝.

17．解　设方程x2－5x＋q＝0的两根为x1、x2，

∵x∈U，x1＋x2＝5，∴q＝x1x2＝1×4＝4或q＝x1·x2＝2×3＝6.

当q＝4时，A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，

∴∁UA＝{2,3,5}；

当q＝6时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，

∴∁UA＝{1,4,5}．

18．解　任取x1，x2∈（0，＋∞）且x1

则x2－x1>0，f（x2）－f（x1）＝（x2－x1）·.

当0

∴x1x2－a<0.

∴f（x2）－f（x1）<0，即f（x）在（0，）上是减函数．

当≤x1a，∴x1x2－a>0.

∴f（x2）－f（x1）>0，

即f（x）在[，＋∞）上是增函数．

∵函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（－∞，－]上是增函数，在[－，0）上是减函数．

综上所述，f（x）在区间（－∞，－]，[，＋∞）上为增函数，在[－，0），（0，]上为减函数．

19．解　

（1）令x＝y≠0，则f

（1）＝0.

（2）令x＝36，y＝6，

则f（）＝f（36）－f（6），f（36）＝2f（6）＝2，

故原不等式为f（x＋3）－f（）

即f[x（x＋3）]

又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

故原不等式等价于

⇒0

20．解　

（1）设日销售金额为y（元），则y＝p·Q.

∴y＝

＝

（2）由

（1）知y＝

＝

当0

当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1125（元）．

由1125>900，知ymax＝1125（元），且第25天，日销售额最大．

21．解　

（1）∵≤a≤1，∴f（x）的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝∈[1,3]．

∴f（x）有最小值N（a）＝1－.

当2≤≤3时，a∈[，]，f（x）有最大值M（a）＝f

（1）

＝a－1；

当1≤<2时，a∈（，1]，f（x）有最大值M（a）＝f（3）

＝9a－5；

∴g（a）＝

（2）设≤a1

＝（a1－a2）（1－）>0，

∴g（a1）>g（a2），

∴g（a）在[，]上是减函数．

设

∴g（a）在（，1]上是增函数．

∴当a＝时，g（a）有最小值.

22．解　

（1）在②中令x＝1，有1≤f

（1）≤1，故f

（1）＝1.

（2）由①知二次函数的开口向上且关于x＝－1对称，故可设此二次函数为f（x）＝a（x＋1）2（a>0），又由f

（1）＝1代入求得a＝，故f（x）＝（x＋1）2.

（3）假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x＋t）≤x.

取x＝1，有f（t＋1）≤1，

即（t＋2）2≤1，

解得－4≤t≤0.

对固定的t∈[－4,0]，取x＝m，有f（t＋m）≤m，

即（t＋m＋1）2≤m，

化简得m2＋2（t－1