专题1 算法初步精讲高一数学必修3备考精讲精练Word文档格式.docx
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不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
说明:
一个完整的程序框图一定会包含终端框(用于表示一个算法的开始和结束),处理框(赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等)和流程线.
3.程序框图的画法
在用自然语言表述一个算法后,可以画出程序框图,用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个算法.这样表示的算法清楚、简练,便于阅读和交流.
设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤:
第一步,用自然语言表述算法步骤.
第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框图表示,得到该步骤的程序框图.
第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图.
注意:
流程线不要忘记画箭头,因为它是反映流程执行先后次序的,若不画出箭头,则难以判断各框的执行顺序.
三、基本算法语句
1.IF-THEN语句
2.IF-THEN-ELSE语句
3.直到型(UNTIL)语句的一般格式
4.当型(WHILE)语句的一般格式
四、算法案例
1.辗转相除法与更相减损术
辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据,但要注意运算过程的差别.两者的区别是:
(1)辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除,更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但其实质都是一个不断的递推过程.
(2)辗转相除法,下一次进行相除时,由上一次的除数和余数直接相除即可.而更相减损术下一次相减前必须有一个判断大小的过程,以区别谁做被减数.
用更相减损术求两正整数的最大公约数时,若两数为偶数,可先约去2,这时莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求的最大公约数.
2.秦九韶算法
秦九韶算法的实质是:
求多项式的值时,转化为求n个一次多项式的值,共进行n次乘法运算和n次加法运算.这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法.
3.进位制
把一个非十进制数转化为另一种非十进制数,通常是把这个数先转化为十进制数,然后再利用除k取余法,把十进制数转化为k进制数.
算法设计与一般意义上的解决问题不同,它是对一类问题的一般解法的抽象与概括,主要借助一般的问题解决方法,又要包括此类问题的所有情形.它往往是把问题的解决划分为若干个可执行的步骤,有时甚至是重复多次,但最终都必须在有限个步骤之内完成.
(1)用数学语言描述算法解决问题的过程大体可分为三步:
第一步,明确问题的性质,分析题意.
我们将问题简单地分为数值问题和非数值问题,不同类型的问题可以有针对性地采用不同的方法进行处理.
第二步,建立问题的描述模型.
对于数值型问题,可以建立数学模型,通过数学语言来描述问题.对于非数值型问题,我们可以建立过程模型,通过过程模型来描述问题.
第三步,设计、确立算法.
对于数值型问题,我们可以采用数值分析的方法进行处理,数值分析中有许多现成的固定算法,我们可以直接使用.当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法.对于非数值型问题,根据过程模型分析算法并进行处理,也可以选择一些成熟的办法进行处理,如排序、递推等.
(2)算法设计应注意:
①与解决问题的一般方法有联系,从中提炼出算法;
②将解决问题的过程分为若干个可执行步骤;
③引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达;
④用最简练的语言将各个步骤表达出来;
⑤算法的执行要在有限步内完成.
例1已知平面直角坐标系中两点,,写出求线段的垂直平分线方程的一个算法.
【思路分析】本题考查了数值型问题的算法设计,首先明确线段的垂直平分线的定义,可先由中点坐标公式求出线段的中点,然后计算直线的斜率,由垂直关系求出的垂直平分线的斜率,最后由点斜式写出直线方程.
【点评】
(1)数值性问题首先建立数学模型,然后将数学问题的求解过程细化过渡成算法步骤,这是通法.
(2)注意数学问题的解法不是算法步骤.
例2设计一个算法求,,,,五个不同实数中最小的数.
【思路分析】本题考查非数值型问题的算法,按照递推关系,先比较与,令为和中的较小者,然后比较与,令较小者为,依次类推,得到最小数.
【解】算法步骤:
第一步,比较,的大小,若,则令;
若,则令.
第二步,比较,的大小,若,则令;
否则值不变.
第三步,比较,的大小,若,则令;
第四步,比较,的大小,若,则令;
第五步,输出.
【点评】任给有限个数,求有限个数中的最大数(最小数),在所给数不是很多的情况下,可设第一个数为最大数(最小数),然后和第二个数比较,取出这两个数中的较大者(较小者)再与第三个数比较,一直进行下去,直到与最后一个数比较完毕.这样就可以得到答案.
1.程序框图是用规定的图形和流程线来准确、直观、形象地表示算法的图形.
2.算法的设计是画程序框图的基础,我们通过对问题的分析,写出相应的算法步骤,画程序框图之前应先对算法问题设计的合法性和合理性进行探讨,然后分析算法的逻辑结构和各步骤的功能(输入、输出、判断、赋值和计算),画出相应的程序框图,如果设计的程序框图较为复杂就采取“逐步求精”的思想设计框图,先将问题中的简单部分明确出来,再逐步对复杂部分进行细化,然后一步一步逐步向前推进,设计出程序框图.
例1某商场进行优惠促销:
若购物金额在500元以上,打8折;
若购物金额在300元以上,打9折;
否则,不打折,设计算法和程序框图,要求输入购物金额为,即能输出实际交款额.
【思路分析】本题考查了条件结构的程序框图,关键是由题意列出实际交款额y与购物金额之间的函数关系式
∵它需要对进行三次判断,
∴算法含有两个条件结构.
第一步,输入购物金额.
第二步,判断是否成立,若成立,则;
否则,执行第三步.
第三步,判断是否成立,若成立,则;
否则,.
第四步,输出,结束算法.
程序框图:
【点评】画程序框图的关键是分析算法的步骤,因为程序框图是算法步骤的图形表示,所以算法步骤越明确画图就越容易;
另外,在分段函数这种需要对条件进行判断的算法设计中,宜使用条件结构.
例2看下面的问题:
1+2+3+…+( )>10000.这个问题的答案不唯一,我们只要确定出满足条件的最小正整数,括号内填写的数字只要大于或等于即可.试写出寻找满足条件的最小正整数的算法并画出相应的程序框图.
【思路分析】本题考查的是循环结构的程序框图的设计、关键设计循环体,本题为累加型循环结构,故累加变量的初始值为,计数变量的初始值,循环体:
,.
本题也可以利用公式法,变量每一次的取值,都是变化后的赋值.
(1)方法二的初始值从1开始,若从一个较大的的初始值开始,可以减少计算机执行的时间.
(2)在循环结构中,要注意根据条件设计合理的计数变量、累加变量及其个数,特别要注意条件的表述要恰当、精确.
(3)累加变量的初始值一般取0.
根据程序框图设计程序关键在于:
(1)明确程序框的结构(顺序结构、条件结构、循环结构).
(2)明确各程序框的含义.
(3)明确各结构及程序框对应的程序语言.
可简记为“一看结构,二看框,程序语言用恰当”.
例1请写出如图所示的程序框图描述的算法程序.
【思路分析】本题考查了条件语句的设计,通过观察我们发现这个程序框图描述的算法含有两个条件结构.通过进一步分析我们还会发现这是一个求分段函数的函数值的算法.输入、输出框分别对应输入、输出语句、判断框对应条件语句.
【解】所求算法程序为:
INPUT“Pleaseinputx=”;
x
IFx>
1THEN
y=xˆ2-1
ELSE
IFx<
-1THEN
y=xˆ2+1
ELSE
y=2*x+1
ENDIF
ENDIF
PRINT“函数值为y=”;
y
END
(1)在本程序中,IF—THEN—ELSE语句嵌入了另一个IF—THEN—ELSE语句,在每一个语句结束时都要写ENDIF;
(2)上述两个语句的先后层次关系,我们用缩进若干空格的办法来体现,从而使程序层次分明,便于检阅;
(3)若程序中有幂,其底数和指数之间要用专用符号“ˆ”连接.
例2.一个球从100m的高度落下,每次落地后又反跳回原高度的一半,再落下,在第10次落地时,小球共经过多少路程?
画出程序框图,并根据程序框图写出程序.
【解】程序框图:
根据程序框图,可设计程序如下:
s=0
h=100
i=1
WHILEi<
=10
s=s+2*h
h=h/2
i=i+1
WEND
s=s-100
PRINTs
【点评】由于球每次下落的高度都是前一次下落后高度的一半,故可引进一个变量,对其累乘即可求得每次下落的高度.
根据程序画程序框图要做到:
(1)明确程序是由哪些关键语句构成的(条件语句、循环语句);
(2)明确各类语句定义符号的含义;
(3)明确各类语句对应的程序框图.
可简记为“抓关键,补符号,按照规则画出来”.
例1请根据给出的算法程序画出程序框图.
a=1
b=1
i=2
WHILEi<=12
c=a+b
a=b
b=c
i=i+1
PRINTc
【解】给出的算法程序对应的程序框图:
例2根据下列程序语句画出程序框图.
s=1
n=1
WHILEs<5000
s=s*n
n=n+1
PRINTn-2
【思路分析】从上面的程序可以看出,这是一个用循环语句写出的程序,从,开始,第一次循环为求1×
1,第二次循环为求1×
2,第三次循环为求1×
2×
3,…,第次循环为求!
,因此,此程序就是输出使!
<5000的最大整数.
【点评】根据程序语句,可画出程序框图,由程序框图可以很容易地说出其功能.