轴对称作轴对称图形学案横版Word格式文档下载.docx

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2.掌握线段的垂直平分线的判定和性质，会用集合的观点解释线段的垂直平分线；

3.通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，体会轴对称和线段的垂直平分线的性质；

4.了解轴对称变换的意义，并能够按要求作出简单平面图形经过一次轴对称变换后的图形；

5.能用坐标表示轴对称，在平面直角坐标系中作出一个关于坐标轴对称的图形，能够用轴对称的性质设计图案；

学习重点

认识轴对称图形及其对称轴，并能掌握两者的区别与联系，了解线段的垂直平分线的性质，掌握轴对称变换。

学习难点

正确画出轴对称图形的对称轴或成轴对称的两个图形的对称轴，能够进行简单的轴对称变换，以及用坐标表示轴对称。

学习过程

一、复习预习

1.角的平分线的定义：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2.角的平分线的画法：

（1）用量角器作；

（2）把角对折使角的两边完全重合，折痕就是角的平分线；

（3）尺规作图法：

①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

②分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；

③画射线OP，射线OP即为所求。

注意：

用尺规作图时，作图的痕迹要保留，不能擦掉。

3.角平分线的性质：

文字表达：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

几何表达：

∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）

∴PA＝PB。

（角平分线的性质）

4．角平分线的判定：

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）

5.三角形角平分线：

1.三角形角平分线定义：

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段，叫三角形的角平分线。

三角形的角平分线是线段。

2.三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

且任意三角形的角平分线都在三角形内部。

3.三角形三条角平分线相交于三角形内部一点，并且这一点到三条边的距离相等（即内心）。

4.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等。

5.三角形两个外角的平分线交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个。

二、知识讲解

考点/易错点1

轴对称与轴对称图形：

轴对称图形是指“一个图形”；

轴对称是指“两个图形”的位置关系。

考点/易错点2

轴对称与轴对称图形的性质：

轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

考点/易错点3

线段的垂直平分线的性质：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

这是一个证明线段相等的办法。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

考点/易错点4

画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：

如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。

考点/易错点5

轴对称变换：

画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

考点/易错点6

用坐标表示轴对称：

在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；

关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。

如关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为。

三、例题精析

【例题1】

【题干】判断下图中的图形是否为轴对称图形，若是，说出它有几条对称轴。

【答案】图②④⑤⑦⑧⑩是轴对称图形，其中图②④⑤⑧都有1条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑩有2条对称轴。

【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，解决此类问题应联想轴对称图形的概念并展开想象。

【例题2】

【题干】如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？

整个图形有几条对称轴？

【答案】阴影三角形与三角形①、②成轴对称；

整个图形共有两条对称轴。

【解析】判断两个图形是不是成轴对称，关键是要把握轴对称的含义。

【例题3】

【题干】图中的两个四边形关于某直线对称，根据图形提供的条件求。

【答案】证明：

∵，

A与E、B与F是对称点

∵，即

又

D与H、C与G是对称点

GF＝BC，即。

【解析】由，，可知A与E、B与F是对称点。

又由，可知D与H、C与G是对称点。

【例题4】

【题干】如图，点表示三个村庄，为了解决村民的饮水问题，现计划打一口井，要使水井到三个村庄的距离相等，请你确定水井的位置。

【答案】

（1）连接AB、BC；

（2）分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，点P就是所要确定的水井的位置。

【解析】本题实际是找一个点，使之到三角形ABC三个顶点的距离相等。

可将此问题分解为几个步骤再进行解答：

先找到A、B两点距离相等的点的集合；

再找到B、C两点距离相等的点的集合；

最后再找这两个集合的公共点。

【例题5】

【题干】如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，，求的周长。

【答案】∵，

∵

，

又∵

∵垂直平分

即的周长为。

【解析】解此题要注意利用“的垂直平分线”这个条件，以及要找出“，”这个条件中四条线段之间的联系。

【例题6】

【题干】如图，和关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

【答案】

（1）连接AD；

（2）分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点；

（3）作直线MN。

直线MN即为所求的直线（对称轴）。

【解析】因为两个图形关于某条直线对称时，其对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，所以只要确定一对对应点，然后连接这两点得到一条线段，再画出这条线段的垂直平分线，就能得到这两个图形的对称轴。

【例题7】

【题干】如图，已知，直线，画出关于直线对称的图形。

（1）过点A作于点D，延长AD至A＇，使A＇D＝AD，得到点A关于直线m的对称点A＇；

（2）同理，可作出点B、C关于直线m的对称点B＇、C＇；

（3）顺次连接A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇；

则就是所求作的三角形。

【解析】分别作出点A、B、C关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点就可以得到轴对称变换后的图形。

【例题8】

【题干】

（1）如图甲，在平面直角坐标系中，，，，求出；

（2）作出关于轴的对称图形，并写出三个顶点的坐标。

甲乙

（1）根据A、B、C三点的坐标，可知，边上的高为3

所以，；

（2）关于轴的对称图形如图乙所示，三个顶点的坐标分别为，，。

【解析】由于图形是在直角坐标系中，且坐标比较特殊，所以很容易得，边上的高为3。

根据关于轴对称的点的坐标的特点，很容易求出三个点的坐标，以点带面，即可作出。

【例题9】

【题干】如图，是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库，现想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？

（1）作点A关于对称的点M、N；

（2）连接M、N，与分别交于P、Q。

点P、Q就是所求的加油站的位置。

【解析】要使油库和加油站组成的三角形的周长最小，可根据两点之间线段最短，只需令三角形的三边之和等于某两点之间的距离，因此考虑作点A关于对称的点。

四、课堂运用

【基础】

1.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（　　）

2.如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（　　）

A．

B．

C．

D．

3.如图，ΔABC与Δ关于直线l对称，则∠B的度数为_________；

4.已知点与点关于轴对称，则________，________；

【巩固】

1.如图，正方形ABCD的边长为8cm，则图中阴影部分的面积为

2.如下图，已知：

在△ABC中，∠BAC=90°

。

BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，试证明：

BE垂直平分AD。

4.已知：

如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为__________。

【拔高】

1.如图，点A，B表示两个村庄，直线MN，PQ分别是村子旁边的航运河流和公路，交汇处为点O，现要建一个货物仓库，要求仓库到A、B两村的距离相等，并且仓库到河流与公路的距离也要相等，请你确定仓库的位置。

2.某一夏令营队要从A地穿过草地去B地,途中需要到河边MN去加水．请问:

在河边的哪一个点加水,才能使行程路线最短?

3.如图所示，△ABC中，DE垂直平分线段AB，AE＝5cm，△ACD的周长为17cm，求△ABC的周长。

课程小结

1．轴对称和轴对称图形的概念