二次函数实践与探索Word格式.docx
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3.画函数图象.
4.求二次函数关系式.
三、预习提示
1.将实际问题转化成数学问题、建立适当的平面直角坐标系.用图象法求一元二次方程的近似解、求一元二次不等式的解集.
2.预习方法提示
二次函数在实践中有广泛的应用,在将实际问题转化成数学问题时,要弄清楚实践中的各个数量之间的内在联系,并选择适当的坐标系建立函数关系式.在学习用函数图象求一元二方程或一元二次不等式的近似解时,要准确画出图象,仔细观察图象中各点位置关系.
四、预习效果反馈
1.用图象法求方程x2-3x-l=0的近似解.
2.画出函数y=x2-2x-3的图象,根据图象回答:
(1)图象与x轴交点的坐标是什么?
(2)当x取何值时,y=0?
y>0?
y﹤0?
(3)不等式x2-2x-3>0、x2-2x-3﹤0的解集分别是什么?
(3)与
(2)有什么联系?
3.某商场将进货单价为18元的商品,按每件20元销售,每天可销售100件,如果每提价1元(每件),日销售量就要减少10件,那么该商品的售出价格定为多少时,才能使每日获得利润最大,最大利润为多少?
4.如图26-3-1所示,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴有两个交点A(1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的关系式;
(2)设点P在抛物线上滑动,问满足条件S△PAB=1的点P有几个?
并求出所有点P的坐标.
Ⅲ.课堂跟讲
一、背记知识随堂笔记
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),则方程ax2+bx+c=0的两根为.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1﹤x2,则不等式ax2+bx+c>0的解集为,不等式ax2+bx+c﹤0的解集为.
3.当a>0,=b2-4ac0时,二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正;
当a0,=b2-4ac0时,二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负.
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和直线y=kx+d(k≠0)有两个交点的条件是,只有一个交点的条件是,没有交点的条件为.
二、教材中“?
”解答
1.问题(P21问题1)
解答:
(1)y=-x2+2x+=-(x2-2x+1-1)+=-(x-1)2+.
∵a=-1﹤0,∴y有最大值.当x=1时,y最大值=,即喷出的水流跟水平面的最大高度为米.
(2)当y=0时,-x2+2x+=0,5x2-10x-4=0.解得x1=1+,x2=1-(不合题意,舍去).∴水池的半径至少应该有约2.34米.
2.问题(P22问题2)
因为抛物线顶点为(0,0),所以设抛物线为y=ax2.把B(0.8,-2.4)代入上式,得-2.4=a·
0.82.∴a=-.∴y=-x2.
当y=-(2.4-1.5)=-0.9时,-0.9=-x2,x=±
.∴DE=﹤1.
∴DE宽小于1米.
3.问题(P22问题3)
(1)由图象知,图象与x轴两交点的坐标为(1.5,0),(-0.5,0).
(2)当x=1.5或-0.5时,y=0,即x=1.5和x=-0.5是方程x2-x-=0的两个根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于(x1,0),(x2,0),即方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;
反过来,一元二次次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,x2就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两个交点的横坐标.
4.问题(P22“试一试”)
(1)观察图象知,当x>1.5或x﹤-0.5时,y>0;
当-0.5<x<1.5时,y﹤0;
(2)不等式x2-x->0的解集为x>1.5或x<-0.5;
不等式x2-x-<0的解集为-0.5﹤x﹤1.5.
5.问题(P23问题4)
问题4实际上提出了一元二次方程的两种图象解法,这两种近似解法都正确,但是小刘的解法更简便一些,因为画抛物线比画直线要麻烦,所以小刘只要先画好一条抛物线y=x2,再根据待解的方程如ax2+bx+c=0(a≠0),先化成x2+x+=0;
x2=-x-,再画出直线y=-,找出其交点横坐标.而其他同学的解法则每次都要根据题意画一条抛物线,较麻烦.
三、重点难点易错点讲解
重点难点:
1.根据函数图象求一元二次方程或一元二次不等式的近似解,在今后学习和中考中常见,因此是本节的重点,学习时要准确画出图象,仔细观察分析图象,明确图象上点的横坐标为x值,纵坐标为函数中y的值.2.用二次函数知识解决生产、生活中的问题,要综合考查同学们分析问题能力、数学建模能力,解决问题能力及灵活处理问题能力,它又是近年中考中的热点问题,因此既是重点又是难点,学习中应认真分析,独立思考,学会综合运用知识.
易错点:
在应用二次函数知识解决实际问题时,要正确理解题意.
【例】目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥,是南宁市又一标志性建筑,其拱形图形为抛物线的一部分(如图26-3-2
(1)),在正常情况下,位于水面上的桥拱跨度为350米,拱高为85米.在所给的直角坐标系中(如图26-3-2
(2)),假设抛物线的表达式为y=ax2+b,请你根据上述数据求出a、b的值,并写出抛物线的表达式.(不要求写自变量的取值范围,a、b的值保留两个有效数字).
错解:
∵桥拱高度OC=85m,即抛物线过点C(0,85),∴b=85.
又由已知,得AB=350×
2(m)=700m,即点A,B的坐标分别为(-350,0),(350,0),
则有0=3502·
a+85.解得a≈-0.00069.
所求抛物线的表达式为y=-0.00069x2+85.
正确解法:
又由已知,得AB=350m,即点A、B的坐标分别为(-175,0),(175,0),
则有0=1752·
a+85.
解得a≈-0.0028.所求抛物线的表达式为y=-0.0028x2+85.
错解分析:
没弄清跨度的含义.
四、本节与科学技术社会
二次函数在工程设计,日常生活中应用较广泛,如我们常见的桥梁、涵洞、房屋及炮弹飞行等.
五、经典例题精讲
(一)一题多解
【例1】用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解.
思维入门指导:
(1)设y=2x2-4x-1,使y=0的x值即方程2x2-4x-1=0的解.
(2)化简2x2-4x-1=0,得x2=2x+.设y1=x2,y2=2x+,它们的交点的横坐标即方程x2=2x+的解.
解法一:
设y=2x2-4x-1.画出抛物线y=2x2-4x-1.
由图象知,当x≈2.2或x≈-0.2时,y=0.
即方程2x2-4x-1=0的近似解为x1≈2.2,x2≈-0.2.
解法二:
将2x2-4x-1=0化简,得2x2=4x+1,x2=2x+.
在同一坐标系中,画出函数y=x2和y=2x+的图象如图26-3-4所示.
抛物线y=x2与直线y=2x+交于A、B,过A、B分别作x轴的垂线,垂足横坐标约为2.2、-0.2.即x=2.2或x=-0.2时,y1=x2和y2=2x+相等,即x2=2x+,2x2-4x-1=0.
点拨:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
(二)一题多变
【例2】画出函数y=x2-4x-3的图象,根据图象回答下列问题:
(2)方程x2-4x-3=0的解是什么?
(3)不等式x2-4x-3﹥0,x2-4x-3﹤0的解是什么?
(4)方程x2-4x-5=0的解是什么?
(5)不等式x2-4x-3﹥5,x2-4x-3﹤-2的解是什么?
解:
(1)x1≈4.6,x2≈-0.65,∴抛物线与x轴交点坐标为(4.6,0),(-0.65,0).
(2)x1≈4.6,x2≈-0.65.
(3)不等式x2-4x-3﹥0的解为x﹤-0.65或x﹥4.6;
不等式x2-4x-3﹤0的解为-0.65﹤x﹤4.6.
(4)x2-4x-5=0的根为x1=5,x2=-1.
(5)x2-4x-3>5的解为x1>1.46或x﹤-5.46;
x2-4x-3<-2的解为-0.24<x﹤4.24.
(三)教材变型题
【例3】(P22问题3变型)画出函数y=x2+4x+3的图象,根据图象回答:
(1)方程x2+4x+2=0的解是什么?
(2)不等式x2+4x+5>0的解集是什么?
(3)不等式x2+4x+1﹤O的解集是什么?
(1)x2+4x+2=0x2+4x+3=1,即求抛物线上纵坐标为1的点的横坐标;
(2)x2+4x+5>0x2+4x+3>-2即求纵坐标大于-2的点的横坐标;
(3)x2+4x+1﹤0x2+4x+3﹤2,即求纵坐标小于2的点的横坐标.
(1)画出函数y=x2+4x+3的图象如图26-3-5所示.
x2+4x+2=0即x2+4x+3=l.过(0,1)作y轴垂线,交抛物线于A、B,分别过A、B作x轴垂线,垂足分别为(-0.6,0),(-3.4,0).
∴方程x2+4x+2=0的解为x1≈-0.6,x2≈-3.4.
(2)x2+4x+5>0即x2+4x+3>-2.过(0,-2)作y轴垂线与抛物线无交点,即抛物线上每个点的纵坐标都大于-2,即x2+4x+3﹥-2.
∴x2+4x+5>0的解集为全体实数.
(3)x2+4x+1﹤0即x2+4x+3﹤2.过(0,2)作y轴垂线与抛物线交于C、D,分别过C、D作x轴垂线,垂足坐标为(-0.3,0),(–3.7,0).由图象知,当-3.7﹤x﹤-0.3时,y﹤2,即x2+4x+3﹤2,x2+4x+1﹤0.
∴不等式x2+4x+1﹤0的解集约为-3.7﹤x﹤-0.3.
ax2+bx+d=0,即ax2+bx+c=c-d;
ax2+bx+d﹥0,即ax2+bx+c﹥c-d;
ax2+bx+d﹤0,即ax2+bx+c﹤c-d.
(四)中考题
【例4】(2004,烟台,14分)如图26-3-6所示,⊙M与x轴交于A、B两点,其坐标分别为A(-3,0)、B(1,0),直径CD垂直于x轴于N,直线CE切⊙M于C,直线FG切⊙M于F,交CE于G,已知G点的横坐标为3.
(1)若抛物线y=-x2-2x+m经过A、B、D三点,求m的值及点D的坐标;
(2)求直线DF的关系式;
(3)是否存在过点G的直线,使它与
(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?
若存在,请求出满足条件的直线的关系式;
若不存在,请说明理由.
(1)中抛物线经过A、B、D三点,可将A或B的坐标代入函数关系式,求出m值;
因为圆是一个轴对称图形,CD为⊙M直径,所以D在抛物线对称轴上.
(1)把A(-3,0)代入y=-x2-2x+m,得0=-9+6+m,∴m=3.
∴抛物线为y=-x2-2x+3.点D在抛物线的对称轴上,所以D点横坐标为当x=-1时,y=-1+2+3=4,∴D(-1,4).
(2)连结MG交y轴于H